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こちらの問題を教えてください。
1. 1 から 10000 までの整数のうち、2, 3, 5, 7 のいずれでも割り切れない数の個数を、
* 各素数 p で割り切れる確率は正確に 1/p
* それぞれの素数で割り切れる事象は完全に独立
という仮定で求めたもの(整数になるとは限らない)と、実際の個数を求めよ。

2. 0 から 1 までの実数から、すべての実数が同様に確からしく選ばれるように
2つの実数 y, z を選ぶ。ただし y, z が互いに独立となるように選ぶ。
y, z のうち大きい方を x とおく。
このようにしてxを選ぶ操作を2回繰り返す。
2回とも x の値が 1/3 から 2/3 の間にある確率は?

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

上だけ。


実際の個数計算は以下。
確率で計算する場合は、以下で書いてる個数が小数とか分数になるだけ。
3の倍数は3333個。確率で行くと、1/3だから10000/3=3333.333・・・
ってな具合。

2,3,5,7の全てで割り切れ無い数なんだから、残りの数は2,3,5,7の少なくとも1つ(1個以上)では割り切れる。
その個数を求めて10000から引く。
●先ずは、2,3,5のいずれかで割り切れる個数を数える
2の倍数は5000個。
3の倍数は3333個。
5の倍数は2000個。
6の倍数は1666個。
10の倍数は1000個。
15の倍数は666個。
30で割れる数は333個。

5000+3333+2000-1666-1000-666+333=7334個。

6,10,15の倍数の個数を引く理由
2の倍数5000個+3の倍数は3333個で8333個なんだけど、これだと2でも3でも割れる数を2回カウントしてしまう。
なので、6の倍数1666個がダブルカウント。この分を引く。

同様に、2と5の最小公倍数10で割れる1000個のダブルカウントを引く。
同様に、3と5の最小公倍数15で割れる666個のダブルカウントを引く。

333個を足す理由
上のやり方だと2と3と5で割れる数は最初に3回数えて
そのあと3回分引いているので数えていないことになり引き過ぎ。
だから、2と3と5の最小公倍数30で割れる333個を足す。

●次に7でのみ割り切れるものを追加する。「のみ」が重要
10000÷7=1428個
この中にもダブルカウントや引過ぎがあるので計算。
2×7の倍数:2の倍数としてカウント済 714個
3×7の倍数:3の倍数としてカウント済 476個
5×7の倍数:5の倍数としてカウント済 285個
2×3×7の倍数:2,3の倍数を2回引いてるから引き過ぎ 238個
2×5×7の倍数:2,5の倍数を2回引いてるから引き過ぎ 142個
3×5×7の倍数:3,5の倍数を2回引いてるから引き過ぎ 95個
2×3×5×7の倍数:まだ引いてないから引く 47個

1428-714-476-285+238+142+95-47=381個


2,3,5,7の少なくとも1つ(1個以上)では割り切れる個数
7334個+381個=7715個

2,3,5,7のいずれでも割り切れ無い数=10000-7715=2285個
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* 各素数 p で割り切れる確率は正確に 1/p


* それぞれの素数で割り切れる事象は完全に独立
という仮定は実際には成立しないのだから、
その仮定の下で求めた個数は
どんなテキトーな数を持ってきて答えにしても
みな真偽でいえば真になります。
「P⇒Q」は、Pが偽のとき、Qの真偽にかかわらず真である
ことを思い出しましょう。
だから、 1. の前半は、何を答えても正解なので
計算する必要自体がありません。
後半の「実際の個数」だけを計算しましょう。
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