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1/(4cos^2x+sin^2)で、

tan(x/2)=tとおいたとき、
sinx=2t/(1+t^2), cosx=(1-t^2)/(1+t^2), dx=2dt/(1+t^2)

になることを利用した積分の方法を教えて欲しいです。

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

方法は、あなたが書いているとおり。


2変数の分数式 f(u,v) に cos, sin を代入したものの積分
I = ∫f(cos x, sin x)dx は、
t =tan(x/2) と置けば
cos x = (1-t^2)/(1+t^2),
sin x = 2t/(1+t^2),
dx = 2dt/(1+t^2) より
I = ∫{ f((1-t^2)/(1+t^2), 2t/(1+t^2))・2/(1+t^2) }dt
と変形される。 変形後の被積分関数は分数式なので、
分数式の積分方法を知っていれば処理できる。

分数式の積分法は、部分分数分解を用いる。
まず、分数式の仮分数を帯分数になおして、
(被積分関数) = f(t) + g(t)/h(t),
ただし f(t), g(t), h(t) は多項式で g(t) の次数は h(t) より小さい
...と変形する。
h(t) の因数分解が h(t) = a{(t - c_1)^n_1}{(t - c_2)^n_2}…{(t - c_m)^n_m}
であれば、g(t)/h(t) は G_k(t)/(t - c_k)^n_k,
ただし g_k(t) は nk 次未満の多項式...の形の項の和に変形できる。

G(t)/(t - c)^n という形の項は、更に
G(t + c) = b_0 + (b_1)t + (b_2)t^2 + ... (b_{n - 1})t^(n-1)
と展開すれば、
G(t)/(t - c)^n = b_0/(t - c)^n + (b_1)/(t - c)^(n-1) + … + ... (b_{n - 1})/(t - c)
と変形される。
以上の展開で、被積分関数は t^n と 1/(t - c)^n という形の項の一次結合
で表されているから、項毎に積分すれば目的の積分が得られる。

...こう書くと何だかややこしいようだが、実際ややこしい。
大概の場合、 h(t) を因数分解するところで挫折する。
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そもそも「何を何で積分するのか」を明確に書くべきだと思うんだ. 「1/(4cos^2x+sin^2)」も式がおかしいし.



なお 1/(4cos^2 x + sin^2 x) を x で積分する, というなら実は t = tan x とおいて計算することができる. たぶんこっちの方が簡単.
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