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大学数学の重積分の問題です。

∫∫D √(x^2+y) dxdy D={(x,y)|x^2≦y<4-x^2}

どなたか教えて欲しいです!

教えて!goo グレード

A 回答 (1件)

x²=4-x² → x=±√2


したがって、積分範囲は x=-√2~+√2 , y=x²~(4-x²)
Dはy軸対象だから、x=0~+√2の積分を2倍すればよい。

 2∫[0,√2]dx∫[x²,4-x²] √(x²+y) dy
 =2∫[0,√2]dx [(2/3)(x²+y)³/²][(4-x²),x²]
 =(4/3)∫[0,√2]dx {4³/²-(2x²)³/²}
 =(4/3)∫[0,√2]dx {8-(2√2)x³}

 =(4/3) [8x-(2√2)(1/4)x⁴][√2,0]
 =(4/3) [8√2-(2√2)(1/4)4]
 =(4/3) 6√2=8√2
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