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高校数学Ⅲの複素数平面で、いろいろな数の累乗根を求める計算が面白いです。そこで、方程式 √x=-1 の解ってどうなるんだろうと、ふと考えてみたところ、解決できませんでした。
複素数平面の考えを利用すると、次のようになってしまいます。

x=r(cosθ+isinθ) (0≦θ<2π) とすると
x^(1/2)=r^(1/2)(cosθ/2+isinθ/2)
-1=cosπ+isinπ
これより
r^(1/2)(cosθ/2+isinθ/2)=cosπ+isinπ
両辺を比較すると r^(1/2)=1,θ/2=π+2kπ (kは整数)
よって r=1,θ=2π+4kπ
-------------------------------------------------------
この時点でθが範囲にそぐわない。
かといって範囲を0≦θ<4πにしてk=0を考えたところで、偏角θ=2πはθ=0と同義であり、解としてx=1が得られるので矛盾する。

これについて、自身の考えは次のようになりますが、どうなのでしょうか?
・「解なし」が正解
・複素数とは全く異なる数の概念がある(大学レベル)

A 回答 (2件)

0≦θ<2π と仮定したのが誤り。


そうすると、0≦θ/2<π となってしまい、
√x の値域は上半平面となる。
√x = a の a に任意の値を指定するためには、
0≦θ/2<2π か、それ以上広い範囲にしておかなければならなかった。
今回は -1 が 0≦θ/2<π の縁にあるから
微妙な感じだの、ちょっと不思議な感じもするが、
これが √x = -i を解く話だったら
0≦θ<2π ではいけないことがよりハッキリしただろう。

No.1 も指摘しているように、
複素√ 関数は多価関数なので √1 = 1 ではなく
√1 = ±1 だが、それにしても上記の θ の範囲を
クリアしなくては、「解がなし」という誤解を解決できない。

最初に θ を任意の実数と仮定してあれば、
質問文中の解法にしたがって r = 1, θ = 2π + 4kπ より
x = r(cosθ + i sinθ) = 1 と正解できたのだ。

もとより、√x = -1 を正しく解くだけなら、
両辺を2乗して x = (-1)^2 = 1 だけで済む。
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この回答へのお礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。ご回答ありがとうございます。
√(複素数)は2値関数になることに加えて、θの範囲の取り方にも問題があったことにも気づけずに、複素数平面への理解が甘いと感じました。

お礼日時:2022/07/08 23:04

xを複素数とした場合√は2値関数なので


x=1の時だけ√(1)=1 とするのは無理が有る。
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この回答へのお礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。ご回答ありがとうございます。
「xを複素数とした場合√は2値関数」ということを知っていなかったため、それが原因で詰んでいたんだと納得しました。

お礼日時:2022/07/08 22:57

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