比例式の利用

①同じ重さの画用紙が100ｇあり、その画用紙12枚の重さは15ｇであった。画用紙は全部で何枚あるか。

画用紙は全部でx枚あるとすると、
15：12=100：x
x=80
と解答にあったのですが、なぜこの式になるのか理解できません。ただ単純に枚数と重さの比が
12：15だからx：100も12：15になるということですか？

②地図上で1.5cmのとき、実際は200kmである。
地図上で4,2cmのとき、実際の距離は何kmか。
という問題で、解答には1,5：4.2=200：x
と書いてありました。先程の画用紙の問題のように考えると、地図上の長さと実際の距離の比は1.5：200だから、
1.5：200=4,2：xになるとおもうのですが、なぜ解答のような式になるのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• もう1つ質問なのですが、比が等しい時に比例式を使うのは分かりますが、比が等しいと判断するにはどうするのですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/09 11:40

• 1,5：4.2=200：xという考え方がわからないのですが、
  なぜ比がひとしいとわかるのでしょうか。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/09 11:42

No.8 回答者： finalbento 回答日時： 2022/07/09 17:06

補足にあった

1.5:4.2=200:x

と言う式の考え方は「地図上の長さの比と実際の距離の比は同じはず」と言うものです。なので地図上の二箇所の長さである1.5cmと4.2cm、実際の二箇所の距離である200kmとxkmの比は同じはずなので先の式が成り立つ事になります。

「それぞれの長さと距離の比が等しいとなぜ分かるのか」と言う理由は「地図はそう作るものだから」と言うものです。他の回答にもありましたが、こう言った場合の「比が等しい」と言う事は数学的に証明する事ではありません。「縮尺が場所によって異なる地図なんか作るわけない」と言う現実的な理由から判断します。「数学の問題だから全部数学で判断して解く」とは限りません。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/09 14:26

比が等しいことの判断は、現象論によります。

算数や数学の出番は、比例式が立った後です。
式を立てるところでは、現実がどうなっているかを見て、
それを数式で表すにはどうしたらよいかを考えなくてはなりません。
立式の過程自体は、算数や数学ではないのです。

①で比が等しいと考えられる理由は、
おそらく紙１枚あたりの重さは一定だろうと思うからです。
例えば、これが素人が作った手漉き和紙の話で
12枚抜き出してみたところ１枚づつかなり厚さが違う
なんてことであれば、15：12=100：x なんて式は立ちません。

②も、手書きの雑な地図で、まっすぐなはずの道が歪んでいたりして
実際の地形と相似だとはとても思えない
ような状態であれば、1.5：4.2=200：x とはできません。

比例式が立てられるかどうかは、比が一定だと思われる状況かどうか。
現象しだいなんです。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/09 14:18

②

＞ 1.5：4.2=200：xという考え方がわからないのですが、
＞ なぜ比がひとしいとわかるのでしょうか。

No.5 に書いたように、
1.5：4.2=200：x と 1.5：200=4.2：x を区別する必要は
あまり無いのですが...

地図とは、実際の地形を相似縮小して表したものです。
地図上の図形と実際の地形は相似であることが前提ですから、
描かれた図形上の長さの比は、実際の距離の比と同じになります。
だから、1.5：4.2=200：x です。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/09 14:12

比例関係は、横一列の式よりも

表でとらえると良いですよ。
例えば①なら、
　　15　　12
　　100　　x　　というように。
15→12, 100→x の倍率は 1gあたりの枚数、
15⇒100, 12⇒x の倍率は 12枚抜き出したときのサンプリング率の倍数で
サンプルから全体への拡大率です。
→ の倍率も ⇒ の倍率も、それぞれ2つの倍率が同じ値を持っている
というのが、この４個の数が比例関係にあるということです。
この図を横に見れば 15:12 = 100:x となるし、
四角を倒して 90° 回転させた位置で見れば 15:100 = 12:x ですね。
この２つの式は、同じ現象を表しているのです。
比例式が出てくる度に図を描いて回転させなくてもよいように、
公式として「比例式の内項の積と外項の積は等しい」という法則があります。
これを使って、15:12 = 100:x も 15:100 = 12:x も
どちらも 12・100 = 15・x になることが、両式が同じ比例関係を表している
ことの現れです。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/07/09 12:05

比は右側が0になっても構わないという点を除いて分数と同じ考えて良いので

15/12=100/x→15x=1200→x=80

12枚で15gだから、1.25 g/枚
100 g ÷ 1.25 g/枚=80 枚
と解いても良いです。

>1,5：4.2=200：xという考え方がわからないのですが、

地図上の長さと実際の長さの比が縮尺
これはどの場所でもどんなに長さに対しても一定。
地図はそのように描かれてます。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/07/09 12:04

>>比が等しいと判断するにはどうするのですか？

片方が2倍になったら、もう一方も2倍。
片方が3倍になったら、もう一方も3倍。
こういう関係になるかで判断。

物の値段は値引きが無ければ、買う数が2倍なら値段も2倍だから比例。
紙の重さも、枚数が2倍になれば重さも2倍だから比例。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2022/07/09 11:38

数学では「正しい考え方は一つ」とは限りません。

違う考え方であっても「どちらも正しい」と言う場合もあり得ます。暗算だけですが、模範解答の考え方で立てた式も質問者様の考え方の式も同じものになるようですから「どちらも正しい」となるはずです。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/07/09 11:25

比というのは分数なんだ。

a:b=a/bの事を指す。

だから、1.5：4.2=200：x の意味は1.5/4.2 = 200/x　の事。

この式の両辺を200で割ると、1.5/(4.2･200)=1/x
さらに両辺に4.2を掛けると、1.5/200=4.2/x

これを比の言葉で書くと、1.5:200=4.2:x

どちらも同じ事を、別の言い方してるダケの事です。