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なぜres(f(z),a)は1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)と置けるのでしょうか?

留数の定義だからとかではなく、具体的な計算による理由が知りたいです。

質問者からの補足コメント

  • ありものがたりさんありがとうございます。

    「f(z) を z = a 中心にローラン展開したときの (z-a)^-1 項の係数。

    (z-a)^n f(z) が z = a 中心にテイラー展開できて、
    留数は (z-a)^(n-1) 項の係数になる。
    これを z で n-1 回微分すれば、定数項は (n-1)!・(留数) となる。
    z→a とすればテイラー展開から定数項が取り出せるので、
    (n-1)! で割れば終わり。」
    の「(z-a)^-1 項の係数」が留数だとはわかりました。
    しきし、その後の
    「これを z で n-1 回微分すれば、定数項は (n-1)!・(留数) となる。
    z→a とすればテイラー展開から定数項が取り出せるので、
    (n-1)! で割れば終わり。」は何を表しているのでしょうか?

    どうか教えてください。

      補足日時:2022/07/13 14:59
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A 回答 (5件)

> c(-1) = { 1/(n-1)! } lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z).から、どうやって、


> c(n) = { 1/(n-1)! } lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z).となるのでしょうか?

下の式にはなりません。
なったら c(n) = c(-1) だって話になって、そんなハズはないし、
そもそも、Res[f(x),a] の値が c(-1) だから求めているんであって、
c(n) を求める理由も無い。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2022/07/23 21:04

←補足


何を表すもなにも、言葉の意味どおり。

f(z) = Σ[k=-n→∞] c(k)(z - a)^k のときの c(-1) を求めたい。
(z-a)^n f(z) = Σ[k=-n→∞] c(k)(z - a)^(k+n) を n-1 回微分すると、
(d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z) = Σ[k=-1→∞] c(k){ (k+n)(k+n-1)(k+n-2)…(k+2) }(z - a)^(k+1).
ここで z→a とすると、右辺で k ≧ 0 の項は皆 →0 となるので、
lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z) = c(-1){ (-1+n)(-1+n-1)(-1+n-2)…(-1+2) }
= c(-1){ (n-1)! }.
以上より、 c(-1) = { 1/(n-1)! } lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z).
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

c(-1) = { 1/(n-1)! } lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z).から、どうやって、

c(n) = { 1/(n-1)! } lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z).となるのでしょうか?

お礼日時:2022/07/16 18:01

>留数の定義だからとかではなく



だから→から

複素関数論の教科書に導出は必ず載ってはずだけど
教科書は見ないの?
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Res[f(z),a] = 1/(n-1)! lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z) は、


留数の定義にはせんじゃろ?
これを定義に採用してる文献は見たことない。

通常、 f(z) の n 位の極 z = a における留数の定義は、
f(z) を z = a 中心にローラン展開したときの (z-a)^-1 項の係数。

(z-a)^n f(z) が z = a 中心にテイラー展開できて、
留数は (z-a)^(n-1) 項の係数になる。
これを z で n-1 回微分すれば、定数項は (n-1)!・(留数) となる。
z→a とすればテイラー展開から定数項が取り出せるので、
(n-1)! で割れば終わり。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

Res[f(z),a] = 1/(n-1)! lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z) は間違いななでしょうか?

多分「通常、 f(z) の n 位の極 z = a における留数の定義は、
f(z) を z = a 中心にローラン展開したときの (z-a)^-1 項の係数。

(z-a)^n f(z) が z = a 中心にテイラー展開できて、
留数は (z-a)^(n-1) 項の係数になる。
これを z で n-1 回微分すれば、定数項は (n-1)!・(留数) となる。
z→a とすればテイラー展開から定数項が取り出せるので、
(n-1)! で割れば終わり。」の部分は
Res[f(z),a] = 1/(n-1)! lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z)に関する記述だと思うのですが、どうか「」の記述の部分を具体的な計算で説明して頂けないでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/07/11 16:51

n ってなに?

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