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離散フーリエ変換について、画像において質問がございます。

なぜ、緑の下線部によりピンクの下線部だと置けるのでしょうか?

また、赤い下線部z≠1により、なぜ青い下線部は0になるのですか?仮に赤い下線部のzが0以外の値の場合は青い下線部はなぜ0にならないのでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

「離散フーリエ変換について、画像において質」の質問画像
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A 回答 (4件)

(1-z)(1+z+z^2+…+z^{n-1})=0


だから
(1-z)=0.または.(1+z+z^2+…+z^{n-1})=0
だから
z≠1より(1-z)≠0だから

1+z+z^2+…+z^{n-1}=0
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この回答へのお礼

なるほどz≠1としたため(1-z)≠0だから
1+z+z^2+…+z^{n-1}=0と導けたわけですね。

お礼日時:2022/07/11 17:48

書いてあるまんまなんですが



z^N = 1 ならば 1 - z^N = 0
因数分解して
1 - z^N =(1 - z){1+z+z^2+z^3 + ・・・ + z^(N-1)}
よって
1≠z の解なら1+z+z^2+z^3 + ・・・ + z^(N-1) = 0

これは 0≠z でどうなるかは何も言ってないのだが・・・
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>赤い下線部z≠1により、なぜ青い下線部は0になるのですか?



z≠1なので(1-z)≠0。だから
  (1-z)(1+z+z^2+...+z^(n-1))=0
の両辺を(1-z)で割ればよし。あるいは「(0でないもの)×(何か)=0 なら、(何か)は0しかない」と考えてもいいでしょう。

> 仮に赤い下線部のzが0以外の値の場合は青い下線部はなぜ0にならないのでしょうか?

 いいえ。0になることがあります。

 まず、方程式(1-z^n = 0)の複素数解はn個ありますが、どれも0ではありません。つまり、「赤い下線部のzが0以外の値の場合」だけしかありません。

(a) 方程式(1-z^n = 0)のn個の解のうちの一つはz=1で、このとき(1-z)=0です。この場合には、z=1を代入すればわかる通り、1+z+z^2+ ... + z^(n-1) = n です。
(b) 1-z^n = 0)のn個の解のうち、z=1以外のn-1個の解はどれも、(1-z)≠0ですから、(1-z)(1+z+z^2+...+ z^(n-1))=0より1+z+z^2+...+ z^(n-1)=0です。

だから「赤い下線部のzが0以外の値」であって、かつ「青い下線部は」0になることがあります。
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緑の下線部から



z^n=1

↓両辺に-z^nを加えると

0=1-z^n

↓左右を入れ替えると

1-z^n=0
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この回答へのお礼

ご親切にありがとうございます。
あの、赤い下線部z≠1により、なぜ青い下線部は0になるのですか?仮に赤い下線部のzが0以外の値の場合は青い下線部はなぜ0にならないのでしょうか?にも答えて頂けるとありがたいです。

お礼日時:2022/07/11 16:45

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