No.3
- 回答日時:
書いてあるまんまなんですが
z^N = 1 ならば 1 - z^N = 0
因数分解して
1 - z^N =(1 - z){1+z+z^2+z^3 + ・・・ + z^(N-1)}
よって
1≠z の解なら1+z+z^2+z^3 + ・・・ + z^(N-1) = 0
これは 0≠z でどうなるかは何も言ってないのだが・・・
No.2
- 回答日時:
>赤い下線部z≠1により、なぜ青い下線部は0になるのですか?
z≠1なので(1-z)≠0。だから
(1-z)(1+z+z^2+...+z^(n-1))=0
の両辺を(1-z)で割ればよし。あるいは「(0でないもの)×(何か)=0 なら、(何か)は0しかない」と考えてもいいでしょう。
> 仮に赤い下線部のzが0以外の値の場合は青い下線部はなぜ0にならないのでしょうか?
いいえ。0になることがあります。
まず、方程式(1-z^n = 0)の複素数解はn個ありますが、どれも0ではありません。つまり、「赤い下線部のzが0以外の値の場合」だけしかありません。
(a) 方程式(1-z^n = 0)のn個の解のうちの一つはz=1で、このとき(1-z)=0です。この場合には、z=1を代入すればわかる通り、1+z+z^2+ ... + z^(n-1) = n です。
(b) 1-z^n = 0)のn個の解のうち、z=1以外のn-1個の解はどれも、(1-z)≠0ですから、(1-z)(1+z+z^2+...+ z^(n-1))=0より1+z+z^2+...+ z^(n-1)=0です。
だから「赤い下線部のzが0以外の値」であって、かつ「青い下線部は」0になることがあります。
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