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統計学の問題です。

正規分布N(m,ρ^2)に従う確率変数X及び、Y=e^Xを考える。

P(Y≦E[Y])>1/2を示せ

どなたか教えていただけますか?

E[Y]=e^(μ+ρ^2/2)です

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A 回答 (4件)

お節介ですみません。



E[Y」の式が与えられていることから、明らかなのですが、

対数軸上の平均値 ⇔ リニアスケール軸上の平均値

の対応の一般論です。


対数軸上の任意の分布(正規分布とは限らない)の平均値がmのとき、リニアスケール軸上の平均値は、それを変換したe^mだとするのは間違いです。

市販本でも、やらかしている事例が散見されます。

正しくは、対数軸上の平均値は、リニアスケール軸上では「幾何平均」に対応します。
対数の足し算をすることは、掛け算を意味するからです。

こんなことも併せて覚えておくと良いと思います。


ゆえに、この問題は、(算術平均)>(幾何平均)の証明問題としても出題されます。

試験では、こちらが出るかもしれません。
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#1です。



訂正があります。

私、#1で、Yの密度関数であるべきところを、Y=の式で書いています。
f(Y)と読み替えて下さいませ。

積分して確率を出す前の式です。

おっちょこちょいで、本当にすみません。
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#1です。



もし、この問題でE(Y)の式が与えられていなかったら、それはそれで大変です。
公式として覚えておくべきかもしれません。

参考までに導出を示しておきます。平均は1次の積率であることを使っています。また、最後の変形はガウスの公式を使っています。(質問中のXは以下ではYになっています)
「統計学の問題です。 正規分布N(m,ρ^」の回答画像2
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統計処理でよく使う対数変換の問題ですね。


Y=e^X を対数変換すると、log(Y)=X となり、Yは対数軸上で正規分布する分布「対数正規分布」になります。


さて、P(Y≦E(Y))>1/2 を示すには、E(Y)(平均)>メディアン(中央値)を示せば良いです。累積確率が1/2となるのはメディアンだからです。

もし、これをリニアスケール上で正攻法でやるなら、Y=e^X に正規分布関数を代入した、
Y=exp((2πρ^2)^-1・enp(ー(x-m)^2/2ρ^2))
をー∞からxまで積分したものを1/2と置いてxを解けば、メディアンが出てくるので、比較すれば良いです。
しかし、それは相当手間取ります。

メディアンは相対位置ですから、軸を変換しても位置は変わらないことに着目し、Yの両辺を対数変換すると、
log(Y)=X
log(Y)は正規分布に従います。正規分布は平均とメディアンが等しいので、logスケール上のlogYのメディアンはm、ゆえにリニアスケール上のYのメディアンはe^mとなります。

E(Y)は既に与えられておりますが、E(Y)=exp(μ+σ^2/2) の間違いです。
これは、logスケール上のμとσを使って、リニアスケール上の平均値を求める変換式です。
logスケール上では、平均がm、標準偏差がρですから、リニアスケール上では、E(Y)=exp(m+ρ^2/2)となります。

あとは、メディアンe^m と、平均exp(m+ρ^2/2) を比較します。

(平均)ー(メディアン)
=exp(m+ρ^2/2)-e^m
=exp(m)+exp(ρ^2/2)ーexp(m)
=exp(ρ^2/2)
>0

∴E(Y)(平均)>メディアン(中央値)
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