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京大理系数学 2015
a,b,c,d,e を正の実数として整式
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=dx+e
を考える.すべての正の整数n に対して f(n)/g(n)は整数であるとする.このとき,f(x) はg(x)で割り切れることを示せ.

「この解法があっているか分からないので教え」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • これが回答の最初です。
    本文の方の画像が見にくくてすみません。

    「この解法があっているか分からないので教え」の補足画像1
      補足日時:2022/07/12 22:39
  • その次がこれです。

    「この解法があっているか分からないので教え」の補足画像2
      補足日時:2022/07/12 22:40
  • その解法は調べたら出たんですけど自分が解いた方はどうかなーっと思って質問しました!やっぱりそっちの解法の方が一般的というか良い解き方なのですかね?本文の画像が見にくかったので補足に画像あげたので見てくださると幸いです!

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/07/12 22:45
  • 「f(n)はg(n)で割り切れることより
    f(n)=kn×g(n)が存在する(kは実数)
    これをnについての恒等式と見ると
    a=kd,b=ke,c=0
    よってk=a/d,k=b/e(この時a,b,d,eは0でない)
    このときa/d=b/e=tとおくと、a=td,b=teと表せる
    これらよりf(x)=tdx^2+texと表せるので
    f(x)をg(x)割ると商はtx,余りは0である。
    ただしこの時txが整数となるtが必ず存在することを確認しなければならない。
    元のf(x)をg(x)で割った余りは(省略)なので1つの方程式に文字が4つ含まれているので文字の組は一意に定まらない。
    よってx,a,b,d,eは実数なのでtxが整数となるtは必ず存在する。
    次に検討するのはa,b,d,eのうち1つ以上が0の時
    (i)aが0の時(実際にやるとb,d,eが0の時も全て割り切れるので省略)
    よって割り切れる

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/07/12 23:36
  • > これは証明すべき命題です。それを仮定するところから出発したら証明にならんでしょうに。

    f(n)/g(n)が整数であることとf(n)はg(n)で割り切れることは同値では無いんですか。

    >たとえば
      g(x) = (√2)x + √3
      f(x) = (5x + 7) g(x)
    のとき、f(n)はg(n)で割り切れる(その上、f(n)/g(n)は任意のnについて整数にもなっている)わけだが、さて、おっしゃるところのkはいくらなの?

    そもそもkはf(n)=kn・g(n)を満たすものなので
    f(x)=kx・g(x)を満たすものではありません。
    tはf(x)=tx・g(x)満たすのであなたが意図しているものはtなのかと思います。
    あげてもらった式を満たすtはt=5+7/xです。

    No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/07/13 21:38
  • そもそも僕の解答のtxが整数かどうかの確認が間違えてますね。
    あと僕の補足のt=5+7/xは間違えてますね。
    tはa,b,d,eの関係で決まるのでこれといった数は述べられないです。

      補足日時:2022/07/14 16:19
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A 回答 (4件)

> 「f(n)はg(n)で割り切れることより



これは証明すべき命題です。それを仮定するところから出発したら証明にならんでしょうに。

> f(n)=kn×g(n)が存在する(kは実数)

たとえば
  g(x) = (√2)x + √3
  f(x) = (5x + 7) g(x)
のとき、f(n)はg(n)で割り切れる(その上、f(n)/g(n)は任意のnについて整数にもなっている)わけだが、さて、おっしゃるところのkはいくらなの?
この回答への補足あり
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a>0,b>0,c>0,d>0,e>0


f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=dx+e
h(x)=f(x)/g(x)
とすると
h(x)=(ax/d)+(bd-ae)/d^2+(cd^2-bed+ae^2)/{d^2(dx+e)}

A=a/d
B=(bd-ae)/d^2
C=(cd^2-bed+ae^2)/d^3
E=e/d
とすると

h(x)=Ax+B+C/(x+E)

h(n)=An+B+C/(n+E)
h(n+1)=A(n+1)+B+C/(n+1+E)

h(n+1)-h(n)=A-C/{(n+E)(n+1+E)}

整数

[A]≠A
と仮定する
D=min(A-[A],1+[A]-A)
とすると
0<D<1
だから
n>(1+|C|)/D
となる自然数nがある
n+1+E>n+E>n>(1+|C|)/D>1
だから
(n+E)(n+1+E)>|C|/D
だから
|C|/{(n+E)(n+1+E)}<D=min(A-[A],1+[A]-A)
|C|/{(n+E)(n+1+E)}<A-[A]
|C|/{(n+E)(n+1+E)}<1+[A]-A

[A]
<A-|C|/{(n+E)(n+1+E)}
≦A-C/{(n+E)(n+1+E)}
≦A+|C|/{(n+E)(n+1+E)}
<1+[A]

[A]<h(n+1)-h(n)<1+[A]
だからh(n+1)-h(n)が整数である事に矛盾するから
[A]=Aは整数だから
C/{(n+E)(n+1+E)}は整数
n>1+|C|
となる自然数がある
n+1+E>n+E>n>1+|C|>1
だから
(n+E)(n+1+E)>|C|
だから
1>|C|/{(n+E)(n+1+E)}
は整数だから
C=0
だから
h(x)=Ax+B
だから
f(x)/g(x)=Ax+B
だから
f(x)はg(x)で割り切れる
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読めって?いや、これは目がキツイす。

この回答への補足あり
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f(x) はg(x)で割り切れない。

(すなわちf(x)=(xの一次式)g(x) + r, (r≠0))
かつ
すべての正の整数n に対して f(n)/g(n)は整数である
ならば、
a,b,c,d,e のどれかが正の実数でない。

を証明すりゃいいんです。
この回答への補足あり
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