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||x|-1|<3という問題の答えが、-4<x<-4となるのですが、写真のような解き方だと場合分けをした後、答えが出ません。この写真のような解き方(考え方)は合ってますか?間違ってたらどこが間違ってるか教えてください。また、このやり方が正しい場合、この後どのように-4<x<4へ導けばいいか教えてください。

「||x|-1|<3という問題の答えが、-」の質問画像

A 回答 (5件)

||x|-1|<3



(I)x<0の時
|-x-1|<3

(i)-1<x<0のとき
x+1<3
x<2
↓-1<x<0<2だから
-1<x<0…(1)

(ii)x≦-1のとき
-x-1<3
-4<x
↓x≦-1だから
-4<x≦-1…(2)

(II)0≦xのとき
|x-1|<3

(iii)0≦x<1のとき
1-x<3
-2<x
↓-2<0≦x<1だから
0≦x<1…(3)

(iv)x≧1のとき
x-1<3
x<4
↓1≦xだから
1≦x<4

↓これと(1),(2),(3) から

-4<x<4
「||x|-1|<3という問題の答えが、-」の回答画像3
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ちゃんと場合分けできているじゃないですか。

それいいんですよ。
その続きで答えが出なかった理由は何なんだろう?
その辺に、あなたの数学理解の闇がありそうですね。

写真の続きは、単に場合分けを統合して、
答え ⇔ (-1 < x < 0 かつ x < 2) または
     (x ≦ -1 かつ x > -4) または
     (0 ≦ x < 1 かつ x > -2) または
     (x ≧ 1 かつ x < 4)
   ⇔ (-1 < x < 0) または
     (-4 < x ≦ -1) または
     (0 ≦ x < 1) または
     (1 ≦ x < 4)
   ⇔ -4 < x < 4.
これだけの話ですよ。
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画像の1行目 x<0 と場合分けしたのですから、x<2 になる筈がない。


以下 同じ 間違いがあります。
計算が終わったら その答えが 場合分けの条件に 当てはまる事を
確認しなければ なりません。
この作業を すれば、正しい答えになる筈です。
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まずはグラフを描くといいと思う。

「||x|-1|<3という問題の答えが、-」の回答画像2
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(Ⅰ) のとき


x<0 としましたから、(i)のx<2は無駄で x<0 です。

(Ⅱ)のとき、
x≧0 としましたから、(iii)のx>-2は無駄で、x≧0です。

結局、
0>x>-4 または 0≦x<4 → -4<x<4
となります。


それよりも
||x|-1|<3 → -3<|x|-1<3 → |x|-1<3 かつ |x|-1>-3
→ |x|<4 かつ |x|>-2
このとき、後者 |x|>-2 は自明だから |x|<4 のみとなり
-4<x<4
を得る。
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