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テーマ124解答3行目
常には=では無いとはなんですか?
1行目〜3行目までを説明してほしいです

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A 回答 (2件)

k ≦ x ≦ k+1 の範囲では


1/(k+1)^3 ≦ 1/x^3 が成り立つが、
この範囲の全ての x について
1/(k+1)^3 = 1/x^3 が成り立つわけではなく
1/(k+1)^3 < 1/x^3 であるような x もあるから、
∫[k,k+1] 1/(k+1)^3 dx < ∫[k,k+1] 1/x^3 dx が成り立つ。
...と言っています。

一般に、
a ≦ x ≦ b の範囲で f(x) ≦ g(x) が成り立てば
∫[a,b] f(x) dx ≦ ∫[a,b] g(x) dx が成り立つのですが、
その中で ∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,b] g(x) dx となるのは
a ≦ x ≦ b の範囲で f(x) = g(x) の場合だけなので、
同範囲内に f(x) < g(x) となる x があれば
∫[a,b] f(x) dx < ∫[a,b] g(x) dx なのです。
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その式は 「k や x が 特殊な値でないと = が成立しない」と云う意味では。

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