複素数が並んだ離散データ(エクセルなど)を数値的に微分する場合、実数の数値微分(ラグランジェ法など)と同じように行ってよいのでしょうか?教えてください。

A 回答 (2件)

複素数の乗算,加算,減算,除算ができる関数を作っておいて例えばそれで実数の場合のプログラムを置き換えてやればできると思います.

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まずは回答レベルはどのくらいですか?


大学の一般教養ですか?

次に、離散データとは言っても、連続性は保証されているのですか?
連続性がなければ微分も何もないと思うので。
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Qベッセル関数の微分公式について。

ベッセル関数の微分を行いたいのですが、どの式を使って良いかわかりません。

微分する場合は真ん中の漸化式を使うべきなのでしょうか?

それとも、一番下の式(単純に一番上の式から導いた関係)でしょうか?

一番下で計算するとどうも上手くいきません。

さらに、真ん中の式を使うこともできればしたくありません。


ν=0の場合は非常に簡単な公式があるのですが、それ以外の場合の公式がんくて困っています。



それとも、そもそも微分は一番上の積分公式みたいな簡単に公式化できないでしょうか?

どなたか教えて下さい。

Aベストアンサー

よく見ると(2)が微分を含まない式なので、補足します。
ベッセル関数の微分はzを変数として

Zν'(z) = d/dz [Zν(z)]
= (ν/z) Zν(z) - Zν+1(z)
= Zν-1(z) - (ν/z)Zν(z) (*)
= [ Zν-1(z) - Zν+1(z) ]/2

が成り立ちます。

ANo1の式はr^νが共通しているので消去すると

r Zν(ar) = [(ν+1)/a ]Zν+1(ar) + r Zν+1'(ar)

変形して

Zν+1'(ar) = Zν(ar) - [(ν+1)/ar ]Zν+1(ar)

これは上の(*)の式です(ν→ν+1におきかえ)。

Q実数全体の集合,超実数全体の集合,複素数全体の集合の包含関係は?

超実数なるものを知りました。

「公理:Rは完備順序体である
公理:R*はRの真拡大順序体である
Rを実数体,R*を超実数体と言い、それぞれの元を実数,超実数と言う」

といったものですが
実数全体の集合,超実数全体の集合,複素数全体の集合の包含関係はどうなっているのでしょうか?

また、実数は直線,複素数は縦軸を書き足して平面として表す事が出来ますよね。超実数はこれらに何を書き足して表されるのでしょうか?

Aベストアンサー

#2,#4です。

(#5さんへ)

>> いいえ、lim Δx=0(Δx→0)です。

門外漢ながら、
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/jissen/jissen18.html
に lim[Δx→+0]Δx = dx という記述があったので#4のような回答をしました。
しかし、これには私も疑問を感じます。
恐らく、下記の説明のほうがいいのではないかと思います。

正の無限小超実数を1つ選び、dx とおく。
すると、lim[x→+0] f(x) の極限値が存在するならば、
lim[x→+0] f(x) = st(f(dx)) が成り立つ。
(ここで、st(f(dx)) は 超実数 f(dx) の標準部分を表す)

>> 集合の濃度と直感との間には隔たりがありますが、
>> (実数と1:1の)直線の濃度は超実数体の濃度には足りず、
>> 実数直線に何かを足しても直感は満足できないような気がします。

これについては、#3さんと同意見です。
もし直線が実数と1:1なら、#5さんの言うとおりだと思いますが、
直線を超実数と関連付けるような定義があっても不思議ではないと思います。

(質問者さんへ)

>> 単集合A:={L∈R*;0<∀r∈R,0<∃s∈R such that 0<Δx-0<s⇒|L-Δx|<r}≠φの時,Aのたった一つの元を

{}の中の詳細は議論しないことにしますが、
たった一つの元、ということではなさそうです。
上記(#5さんへ)で書いたように、
正の無限小超実数を1つ選び、dx とおくことになると思います。
正の無限小超実数はたくさんありますが、
そのうちのどれを選んでも議論が成り立つと思います。

>> 「あらゆる正の実数 r に対して,|ε| < r が成り立つとき,εを無限小超実数と呼ぶ.
>> 注)ある実数 r に対して |ε| < r が成り立つとき,εを有限超実数と呼ぶ.」
>> は無限小超実数ならば有限超実数と解釈できるのですが私の解釈で間違いないでしょうか?

間違いないです。無限小超実数は0に無限に近い超実数のことですし、
有限超実数は有限の実数に無限に近い超実数になりますから、
無限小超実数の集合⊂有限超実数の集合 になります。

#2,#4です。

(#5さんへ)

>> いいえ、lim Δx=0(Δx→0)です。

門外漢ながら、
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/jissen/jissen18.html
に lim[Δx→+0]Δx = dx という記述があったので#4のような回答をしました。
しかし、これには私も疑問を感じます。
恐らく、下記の説明のほうがいいのではないかと思います。

正の無限小超実数を1つ選び、dx とおく。
すると、lim[x→+0] f(x) の極限値が存在するならば、
lim[x→+0] f(x) = st(f(dx)) が成り立つ。
(ここで、s...続きを読む

Q微分の重解条件は公式として使える?

微分の重解条件は公式として使える?

数学の微分の重解条件について質問です。
タイトル通りなのですが、
微分の重解条件(f(α)=f'(α)=0)は
公式として問題を解く際に用いてもいいのですか?
どなたかご回答ください。

Aベストアンサー

まず、内容の確認ですが、以下のとおりでいいですか?

xの 2次以上の整式(多項式):f(x)において、
f(α)= 0 かつ f '(α)= 0ならば、方程式:f(x)= 0は x=αを重解にもつ。

「微分の重解条件」という公式はありません。造語になってしまいます。
そのときは、内容をほかの人にわかるようにきっちり書かないと、伝わるものも伝わりません。

「f(α)= 0 かつ f '(α)= 0」ということは、グラフ:y= f(x)と x軸が x=αで「接している」ということと同じです。
「接している」=「重解をもつ」ということからも、重解をもつということが帰結されます。


公式としてよいかということですが、「しない方がよい」と思います。
上のように説明を書いて示すのがベストです。
逆に、2次試験のような記述式では、このような説明を書いておくことで部分点をもらえる可能性も高くなります。

Q複素数の複素数乗の考え方について

z,α,β∈Cのときの考え方について悩んでます。

(i) z^α * z^β = z^(α+β)
(ii) (z^α)^β = (z^β)^α = z^(αβ)

が成立する条件ってどう考えればいいんでしょうか?
zが無限多価関数って事を考えてもよく解からない事になります。

(i)の方は
 z^α = exp(αlogz) = exp{α(log|z| + argz)}
 z^β = exp(βlogz) = exp{β(log|z| + argz)}
 z^(α+β) = exp{(α+β)logz} = exp{(α+β)(log|z| + argz)}
から
 z ≠ 0
な気がするのですが、確証が持てません。

ご教示お願いします。

Aベストアンサー

じっくりいきます.
まず次のように定義しています (ギリシア文字は面倒なので π 以外は全てラテン文字で):
z^a = exp [a (log |z| + i (arg z + 2kπ))], k ∈ Z.
(ii) の式は, ここでは全く出てきません.
この定義から z^a が一般には無限多価関数となることがわかるので, 他のところも無限多価関数を扱えるように拡張します:
log X = { log x | x ∈ X }
X Y = { xy | x ∈ X, y ∈ Y }
exp X = { exp x | x ∈ X }
ようするに「(無限) 多価なので集合として扱う」ってだけですが.
これだけ準備しておいて, 1^i を考えると z^a の定義から
1^i = exp i [log 1 + i (arg 1 + 2kπ)] = exp i (0 + 2kπ i) = exp -2kπ
となります.
ということで, 1^i 1^i は
1^i 1^i = (exp -2kπ) (exp -2lπ) = exp -2π(k + l)
と書けます (k, l ∈ Z). 注意してほしいのは, 2つの 1^i を計算するときに 1 の偏角として異なる値を使ってよいというところ. 一方 1^(i+i) = 1^(2i) は
1^(2i) = exp 2i [log 1 + i (arg 1 + 2kπ)] = exp 2i (0 + 2kπ i) = exp -4kπ
です. で 1^i 1^i と 1^(2i) が (集合として) 等しいかどうかというと, 前者では (k = 0, l = 1 とおくと) exp -2π という値が取れるのに対し後者では取ることができません. 従ってこの 2つは (集合として) 異なるということになります.
あと ±1 と (-1)^k の違いですが, ±1 では +1 と -1 のどちらの値を取ってもよいのに対し (-1)^k では (k の値に応じた) +1 あるいは -1 のいずれかしか取れないというところにあります.

じっくりいきます.
まず次のように定義しています (ギリシア文字は面倒なので π 以外は全てラテン文字で):
z^a = exp [a (log |z| + i (arg z + 2kπ))], k ∈ Z.
(ii) の式は, ここでは全く出てきません.
この定義から z^a が一般には無限多価関数となることがわかるので, 他のところも無限多価関数を扱えるように拡張します:
log X = { log x | x ∈ X }
X Y = { xy | x ∈ X, y ∈ Y }
exp X = { exp x | x ∈ X }
ようするに「(無限) 多価なので集合として扱う」ってだけですが.
これだけ準備しておいて, 1...続きを読む

Q合成関数のn回微分の公式?

実関数の微分に対して、ライプニッツの公式は、

(fg)^(n)=Σ[k=0,n]C(n,k)f^(k)*g^(n-k)

です。
ところで、合成関数のn回微分の公式って考えれないのでしょうか?

一般化は難しそうなのでたとえば、
y=f(x)^a
のn回微分を書き表す方法はあるのでしょうか?
ライプニッツの公式は、係数に二項係数が使われましたが、合成関数のn回微分には、なんらかの数列が関係していたりするのでしょうか?

Aベストアンサー

確かに、ライプニッツの公式にはn階導関数について二項係数が使われていました。

しかし、合成関数といっても様々です。書き表せない関数を探す方が早いと思います。

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/HigherOrderDerivatives.htm#ThrmNthDerivedFnctnOfComposition

合成関数の高階導関数は簡単な公式で表されません。その例として2変数関数の合成関数のn階導関数があります。合成関数と言っても簡単に一まとめにはできないということですね。

Q複素数の複素数乗の定義の仕方は?

定義集を作っています。
集合や写像を定義してからN,Z,Q,R,Cの四則演算等や環や体を定義しました。
そして、e:=lim[t→0](1+t)^(1/t)をε-δで定義しました。
この後、累乗の定義をしようとしたのですが
後でいちいち定義の拡張をしなくていいように
複素数の複素数乗(z^w (z,w∈C))を一気に定義してしまおうと思っています。
先ずはz^wの定義は
z^w:=exp(log|z|+iArg(z)) (Arg(z)は0<arg(z)≦2π)
だと思いますが
logとargの定義をしてしまわねばなりません。
argは図を使わずに数式として定義は出来ないのでしょうか?
(図で定義するのなら先ず図とは何かを定義しなければなりませんよね)
そして、logはmap f:R→R;R∋∀x→f(x):=e^xの逆写像として定義されると思います。
然しながらここでe^xと累乗を使ってしまってます(累乗は未定義なのに)。
どうすればlogを累乗を避けて定義できますでしょうか?

Aベストアンサー

一般的な構成法としては、exp() とその逆関数の log() は個別に定義しておいて、

a ^ b = exp(b * log(a))

を使って定義するというのが自然ではないかなと思います。

exp(x) は、 1/(n!)x^n の無限和で定義できますし、log(x) はそれの逆関数としてしまっても良いかもしれません。

Qeの微分の公式について

e^xの微分はe^xですが
e^f(x)の微分はf'(x)e^f(x)でいいのでしょうか?
ネットで調べたのですが、e^xの微分の公式の説明ばかりだったので教えてください

Aベストアンサー

あってますよ。
普通に検索すると、確かに見つけにくいですね^^
http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/symbolic/derive.html

Q複素数での共役複素数の計算方法について

電気について勉強をしており、使用しているテキストの内容で
問題の解答にある式に変形出来ませんでした。

ご指導の程、よろしくお願いします。

テキストの解答
15 * jX / 15 + jX = 15X^2 + j15^2 / 15^2 + X^2

分母は共役複素数で
(15 + jX)*(15 - jX) となり
AC - BD+j (AD + BC) にて 15^2 + X^2
なると思うのですが、

分子に共役複素数の(15 - jX)を持って行ってからの
15 * jX ( 15 - jX ) の計算をどのようにすればいいかわからないです。
そもそも共役複素数を使うことが間違いなのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

分配法則で括弧を展開するだけですが…
模範回答にミスプリがあります。
たぶん、貴方の計算のほうが合っている
と思うので、補足に書いてみてください。

Q2変数の合成関数の微分公式を用いた計算について

微分積分の回答をお願いいたします。;2変数の合成関数の微分公式について

z=e^xy,x=2u-3v,y=5u+7vによって合成関数z=f(x(u,v),y(u,v))を定義したとする。
zu,zvを、2変数の合成関数の微分公式を用いて計算せよ。

回答をお願いいたします。

Aベストアンサー

f とか、zu とか、zv とか、何じゃい?

∂z/∂u = (∂z/∂x)(∂x/∂u) + (∂z/∂y)(∂y/∂u)
= {y e^(xy)}2 + {x e^(xy)}5
= (5x+2y) e^(xy)

∂z/∂v = (∂z/∂x)(∂x/∂v) + (∂z/∂y)(∂y/∂v)
= {y e^(xy)}(-3) + {x e^(xy)}7
= (7x-3y) e^(xy)

のことかいな?
まさか z = (e^x)y じゃ、あるまいな。

Q複素数、共役複素数の証明

はじめまして。いくら考えても証明できないので分かる方
いましたら解説の方よろしくお願いします。

複素数として、|z1|を共役複素数とする時、
(1)|z1+z2|=|z1|+|z2|と|z1・z2|=|z1|・|z2| の証明せよ。
(2)二次方程式の一解をαとすると他解はβになる事を証明 せよ

Z1の共役複素数をa-bi,a+biとおく(a,bは実数,iは虚数単位とする).

1)|z1+z2|=|z1|+|z2|の証明
左辺=|z1+z2|=|a-bi+a+bi|=|2a|=2a
右辺=|z1|+|z2|=|a-bi|+|a+bi|=2a
左辺=右辺のため,|z1+z2|=|z1|+|z2|

2)|z1・z2|=|z1|・|z2|の証明
左辺=|z1・z2|=|(a-bi)(a+bi)|=|a2+b2|= a2+b2
右辺=|z1|・|z2|=|a-bi|・|a+bi|=a2+b2
左辺=右辺のため,|z1・z2|=|z1|・|z2|

(1)はこの様にして何とか解けたのですが、(2)に関してさっぱりわかりません。よろしければ(2)の問題の解説をお願いします。

はじめまして。いくら考えても証明できないので分かる方
いましたら解説の方よろしくお願いします。

複素数として、|z1|を共役複素数とする時、
(1)|z1+z2|=|z1|+|z2|と|z1・z2|=|z1|・|z2| の証明せよ。
(2)二次方程式の一解をαとすると他解はβになる事を証明 せよ

Z1の共役複素数をa-bi,a+biとおく(a,bは実数,iは虚数単位とする).

1)|z1+z2|=|z1|+|z2|の証明
左辺=|z1+z2|=|a-bi+a+bi|=|2a|=2a
右辺=|z1|+|z2|...続きを読む

Aベストアンサー

言葉遣いから奇妙で、誰かが複素数を全く知らないことだけは伝わってきます。
社長氏が出題なさった時点から、こんな文章だったのでしょうか。
それとも、質問氏の勘違いでしょうか。

第一に、「共役複素数」というのは、二つの複素数の間の関係を表す言葉です。
「αはβの共役複素数」とか「αとβは互いに共役(な複素数)」とか使います。
実部が共通で、虚部の符号だけが異なる複素数の対のことを「共役複素数」と
言うので、a-bi と a+bi (a,bは実数、iは虚数単位) が正に「互いに共役」です。
「|z1|を共役複素数とする時」も、
「z1の共役複素数をa-bi,a+biとおく」も、文章が意味をなしません。

何とか解釈を試みると、一案として…
(1) 複素数Zの共役複素数を|z|と書くとき、
|z1+z2|=|z1|+|z2|と|z1・z2|=|z1|・|z2| の証明せよ。
…と受け取れなくもありません。もし、そのつもりならば、
Z1 = (a1) + (b1) i, Z2 = (a2) + (b2) i, (a1,b1,a2,b2は実数、iは虚数単位)
と置いて式の両辺を計算してみれば、証明することができるでしょう。

ただし、通常、|z|は複素数の「絶対値」を表す記号なので、
そのような気ままな記号の使い方は、誤解の基です。
絶対値については、|z1+z2|=|z1|+|z2|は成り立ちません。

ところで、御社では、業務上このような数学を使うのでしょうか。

言葉遣いから奇妙で、誰かが複素数を全く知らないことだけは伝わってきます。
社長氏が出題なさった時点から、こんな文章だったのでしょうか。
それとも、質問氏の勘違いでしょうか。

第一に、「共役複素数」というのは、二つの複素数の間の関係を表す言葉です。
「αはβの共役複素数」とか「αとβは互いに共役(な複素数)」とか使います。
実部が共通で、虚部の符号だけが異なる複素数の対のことを「共役複素数」と
言うので、a-bi と a+bi (a,bは実数、iは虚数単位) が正に「互いに共役」です。
「|z1...続きを読む


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