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1.
「f(z)=tan(z)

0<|z-π/2|<π
でのローラン展開は

f(z)=tan(z)

z=π/2で1位の極を持つから

f(z)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z-π/2)^n

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

n=-1の時

a(n)=a(-1)
=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
=...
=lim_{z→π/2}{-sin(z)}lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)

lim_{z→π/2}{-sin(z)}=-1
lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)=1だから

=-1

となります」について、
n≧0の時の計算は面倒なので計算しません」
に関して、なぜn≧0の時の計算は面倒なのでしょうか?n≧0の場合は
a(n)≠0となるとは限りません。
a(n)=0となるとは限りません。
について、いまいちピンときません。具体的な計算を用いて説明して頂けないでしょうか?


どうかよろしくお願い致します。

A 回答 (1件)

tan(z)=-cot(z-π/2)なので


tan(z)のz=π/2のまわりでのローラン展開は
cot(z-π/2)のz=π/2のまわりでのローラン展開に帰着する。
したがってcotwのw=0のまわりのローラン展開に帰着する。
(w=z-π/2)
ゆえにtan(z)のz=π/2のまわりでのローラン展開は
tan(z)=(-1)/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+(1/45)(z-π/2)^3+・・・
のようになる。

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
の式は正しいけどこれで展開の係数を決めるのは実際に計算してみて
手間がかかりすぎるので現実的ではありません。


cotwのw=0のまわりのローラン展開に関しては
高木、解析概論等を参照のこと。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2022/07/24 19:02

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