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m^n+n^mが素数となる整数m,nの組は何通り存在しますか?

昨日妻とm^n+n^mが素数となる整数m,nの組が何通りか求めたいという話になったのですが、何通り存在するのでしょうか?そもそも解は存在するのでしょうか?

A 回答 (5件)

m と n のどちらかが 1 であるような「自明」な組み合わせが無限にあることは指摘のある通り. 一方でそのような「自明」でない場合は難しい... というか数えられないんじゃないかな. たぶん「m^n+n^m が素数になるような m, n を与える」方法はないと思う.



もちろん具体的な m, n の値に対して m^n+n^m が素数になるかどうかを判定することは可能だけど, その方法では「調べて見付かったのが○○通り」としかいえず, 「全部で○○通り」ということは不可能.

Maxima でm < 10, n はてきとうに 1000 から 10000 くらいで調べたところ #4 に加えて
(m, n) = (2, 15), (2, 21), (2, 33), (3, 56), (5, 24), (7, 54), (9, 76); (2, 2007), (2, 2127), (2, 3759), (5, 1036), (7, 3076), (8, 519), (9, 122), (9, 422)
は素数になるっぽい. セミコロンより前は factor でチェックしたけど後ろは primep で調べたので間違って「素数」としてしまったかもしれない. っつ~か (7, 3076) とかをチェックするのはさすがに無理.
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この回答へのお礼

無限に存在して数えることは不可能なんですね…
ありがとうございました!

お礼日時:2022/07/28 12:15

> そもそも解は



 素数pに対して、(m,n) = (1, p-1) は解。というわけで「n, mは1じゃない」という条件を付けないと意味をなさんでしょうね。ついでに、m,nは自然数でなくちゃダメだし、(p=2の場合以外は)m,nの一方が奇数、他方が偶数なのも明らか。
 (m,n)=(2,3), (2,9)などはすぐわかるが、3≦m<nとなるとどうだろう。
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素数pに対して


m=1
n=p-1
とすると

m^n+n^m
=1^(p-1)+(p-1)^1
=1+p-1
=p
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素数が無限にあるとするなら、


1と2以外の素数は全て3以上の奇数なわけで
それは全て2n+1=(2n)^1+1^(2n)ということになります。
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無限です。

多分、、、、、
m=1,n=素数のうちのどれでもor1
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