方程式、不等式

すべての実数ｘに対して
ｘ(４乗)ー４ｐ(３乗)ｘ＋１２≧０
が成立するような実数ｐの範囲を求めよ　

という問題がわかりません
どなたかわかりやすく解説お願いします。　　　　　　　　　　　　

No.1 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/04/01 22:44

f(x) = x^4 - 4p^3x + 12として、

f(x)を微分してf(x)のグラフを描いて、

そのグラフが常にx軸より上にくるpの範囲を求めて下さい。

この回答へのお礼

そうやって考えればよいのですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/04/02 12:34

No.2 回答者： postro 回答日時： 2005/04/01 23:00

ｘ(４乗)をx^4と書きます。

y=x^4-(4p^3)x+12 のグラフが常にx軸より上にあるようなｐを求めればよい。
f(x)=x^4-(4p^3)x+12 としてこれを微分してf(x)の増減表をかいて　最小値≧０　としてやれば良い。
ちょっとやってみたら、x=p のときｆ（ｘ）は最小値　12-3p^4 になるようです。
12-3p^4≧０ の不等式を解くと　-√2≦p≦√2
確かめてください。

この回答へのお礼

確かめました。回答ぴったり合いました。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/04/02 12:37

No.3 回答者： soyokazesoyoso4 回答日時： 2005/04/01 23:01

f(x)=x^4-4p^3x+12が常に≧０であればよい。

つまりこれの最小値が０以上であればよい。
f'(x)=4x^3-4p^3=4(x-p)(x^2+px+p^2)
f'(x)=0となるときx=p

　　x│ …　　　ｐ　　　…
f'(x)│ －　　　０　　　＋
f(x)│減少　-3p^4+12　増加

f(x)の最小値は-3p^4+12で、これが０以上だから、
-3p^4+12≧０，　p^4-4≦０，　(p^2+2)(p^2-2)≦０，
ところでp^2+2は常に正だから、p^2-2≦０
したがって、－√２≦ｐ≦√２

この回答へのお礼

とてもわかりやすい回答ありがとうございました。回答がわかってすっきりしました★☆

お礼日時：2005/04/02 12:25