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この写真の問題の(2)について何ですが、(1)の「2解が共に1より大きい」という時は写真のように、
[f(1)の符号(精構①)]、[軸aの取りうる範囲(精構②)]
[頂点のy座標(精構③)]の3つの不等式の共通範囲からaの答えを求めていることは、わかるのですが、なぜ、(2)のときは、軸aの取りうる範囲(精構②)と頂点のy座標(精構②)なしでaの範囲が求まるのですか?

「この写真の問題の(2)について何ですが、」の質問画像
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A 回答 (5件)

>なぜ、(2)のときは、軸aの取りうる範囲(精構②)と頂点のy座標(精構②)なしでaの範囲が求まるのですか?



軸や頂点の座標はどうでもよいからです。
下に凸の放物線であれば、軸がどこであっても、f(1) < 0 なら、
頂点の y 座標は負で(つまり判別式は正)
 x<1 と 1<x
の異なる2点でx軸と交わりますから。
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この回答へのお礼

仮に精構②と③を考えても結局、同じ答えになるのですか?

お礼日時:2022/07/22 18:52

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

>仮に精構②と③を考えても結局、同じ答えになるのですか?

まあ、そういうことではあるのですが、②については正確にはそういうことではありません。

②(軸の位置)は、a<1 でも a=1 でも 1<a でも、どれでもよいのです。
というか、「条件の付けようがない」のです。
つまり、この条件に付いては「考えようがない」「考えたくとも考えられない」のです。
なんなら、真剣に考えてみてください。何か条件が付けられますか?

③(判別式、あるいは頂点の y 座標)は、「下に凸で f(1)<0」なら f(x)=0 を満たす異なる2つの x がある」ことは確実なので、確認するまでもなく成り立っています。
考えたければ考えてもよいですが、「同じこと」を確認するだけです。
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中間値定理を使っているからです。


y =f(x) = x^2 - 2ax + 4 は、 a の値によらず下凸な放物線ですから、
lim[x→+∞]f(x) = +∞, lim[x→-∞]f(x) = +∞ になります。
十分大きな正数 M をとれば、 f(M) > 0, F(-M) > 0 です。
これと中間値定理をあわせると、
f(1) < 0 ⇔ f(x) = 0 となる x が x < 1 の範囲にも
               x > 1 の範囲にも存在する.
となります。
二次方程式 f(x) = 0 の解は多くても 2個ですから、
f(1) < 0 ⇔ f(x) = 0 となる x が x < 1 の範囲に 1個
               x > 1 の範囲に 1個存在する.
でもあります。
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y=f(x)=x²-2ax+4 のグラフを考えてみて下さい。


f(x)=0 の解が 1 より大きく 他の解が 1 より小さいと云う事は、
f(1)<0 で、更に頂点座標が 第4象限にあると云う事です。
でこれだけで (2) の問題の条件を 表している事になります。
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(2)の解説の図を見てもわからないということなんでしょうか?


一目瞭然ですよね。

f(x) = x^2 - 2ax + 4

f(1) < 0
なら、f(x)が下に凸な2次関数であることを考慮すると
1の前後に解をもつということです。
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