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C'とD'で共通する部分の体積ですが、なぜこのような集合で求められるんですか?

「空間図形の問題について」の質問画像
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A 回答 (2件)

C={(x,y,z)|x^2-3≦z≦x^2-1}


D={(x,y,z)|-y^2+1≦z≦-y^2+3}

A(a)={(x,y,z)|x^2-a≦z}
B(b)={(x,y,z)|z≦-y^2+b}
A(3)={(x,y,z)|x^2-3≦z}
B(3)={(x,y,z)|z≦-y^2+3}


C'=A(3)∩{-A(1)}
D'=B(3)∩{-B(1)}
だから

C'∩D'
=A(3)∩{-A(1)}∩B(3)∩{-B(1)}
=A(3)∩B(3)∩{-A(1)}∩{-B(1)}
↓{-A(1)}∩{-B(1)}=-{A(1)∪B(1)} だから
=A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})

{A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})}∪[A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}]=A(3)∩B(3)

|A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})|+|A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}|-|{A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})}∩[A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}]|=|A(3)∩B(3)|

↓|{A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})}∩[A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}]|=|φ|=0だから

|A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})|+|A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}|=|A(3)∩B(3)|

↓両辺から|A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}|を引くと

|A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})|=|A(3)∩B(3)|-|A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}|

↓C'∩D'=A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})だから

|C'∩D'|=|A(3)∩B(3)|-|A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}|

A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}
=A(3)∩B(3)∩{B(1)∪A(1)}
={A(3)∩B(3)∩B(1)}∪{A(3)∩B(3)∩A(1)}
={A(3)∩B(1)}∪{A(1)∩B(3)}
だから

|A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}|
=|{A(3)∩B(1)}∪{A(1)∩B(3)}|
=|A(3)∩B(1)|+|A(1)∩B(3)|-|A(3)∩B(1)∩A(1)∩B(3)|
=|A(3)∩B(1)|+|A(1)∩B(3)|-|A(1)∩B(1)|
だから

|C'∩D'|=|A(3)∩B(3)|-{|A(3)∩B(1)|+|A(1)∩B(3)|-|A(1)∩B(1)|}
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2022/07/31 09:10

C'=A(3)∩{-A(1)}


D'=B(3)∩{-B(1)}
だから

C'∩D'
=A(3)∩{-A(1)}∩B(3)∩{-B(1)}
=A(3)∩B(3)∩{-A(1)}∩{-B(1)}
↓{-A(1)}∩{-B(1)}=-{A(1)∪B(1)} だから
=A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})

{A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})}∪[A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}]=A(3)∩B(3)

↓{A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})}∩[A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}]=φだから

|A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})|+|A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}|=|A(3)∩B(3)|

↓両辺から|A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}|を引くと

|A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})|=|A(3)∩B(3)|-|A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}|

↓C'∩D'=A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})だから

|C'∩D'|=|A(3)∩B(3)|-|A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}|

A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}
=A(3)∩B(3)∩{B(1)∪A(1)}
={A(3)∩B(3)∩B(1)}∪{A(3)∩B(3)∩A(1)}
={A(3)∩B(1)}∪{A(1)∩B(3)}
だから

|A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}|
=|{A(3)∩B(1)}∪{A(1)∩B(3)}|
=|A(3)∩B(1)|+|A(1)∩B(3)|-|A(3)∩B(1)∩A(1)∩B(3)|
=|A(3)∩B(1)|+|A(1)∩B(3)|-|A(1)∩B(1)|
だから

|C'∩D'|=|A(3)∩B(3)|-{|A(3)∩B(1)|+|A(1)∩B(3)|-|A(1)∩B(1)|}
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この回答へのお礼

A(3)∩B(3)∩(-{A(1)∪B(1)})}∩[A(3)∩B(3)∩{A(1)∪B(1)}]=φとは何を表しているんですか?

お礼日時:2022/07/27 21:30

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