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∮(C)e^z/(z(z-2))dz (C:|z|=1)
∮(C)cos(πz)/(2z-1)^2dz (C:|z|=1)
∮(C)z^5sin(1/z^2)dz (C:|z|=1)
∮(-∞から∞)1/(x^6+1)dx
上記4つの解答を教えて欲しいです。

A 回答 (1件)

e^z/(z(z-2)) の特異点は z = 0, 2 で、


|z| < 1 に含まれるものは z = 0 だけ。
よって ∮[C] e^z/(z(z-2)) dz = (2πi) Res[e^z/(z(z-2)),0] だが、
e^z = 1 + z + (1/2)z^2 + ...,
1/(z-2) = (-1/2)/(1 - z/2) = (-1/2) + (-1/2)(z/2) + (-1/2)(z/2)^2 + ...
より、 e^z/(z(z-2)) の z = 0 を中心とするローラン展開は
e^z/(z(z-2)) = 1(-1/2)/z + ... となる。
Res[e^z/(z(z-2)),0] = -1/2 なので、∮[C] e^z/(z(z-2)) dz = -πi.

cos(πz)/(2z-1)^2 の特異点は z = 1/2 に 2位の極がひとつ。
これは |z| < 1 に含まれる。
よって ∮[C] cos(πz)/(2z-1)^2 dz = (2πi) Res[cos(πz)/(2z-1)^2,1/2].
2位の極だから、Res[cos(πz)/(2z-1)^2,1/2]
= lim[z→1/2] (1/1!) (d/dz) (z - 1/2)^2 cos(πz)/(2z-1)^2
= -π/4.
なので、∮[C] cos(πz)/(2z-1)^2 dz = -i(π^2)/2.
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