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−sinθ−cosθの合成ってどのように計算するのでしょうか?

A 回答 (4件)

何を求めたいか質問に何も書いて無いけど


Asin(θ+φ) という形にまとめたいなら

-sinθ-cosθ
=-√(2){(1/√(2)sinθ+(1/√(2)cosθ
=-√(2)(cos(π/4)sinθ+sin(π/4)cosθ)
=-√(2)sin(θ+π/4)
=√(2)sin(-θ-π/4)=√(2)sin(θ+(5/4)π)

で振幅は√(2)、初期位相が(5/4)πであることがわかる。

最後の2行は
-sinθ=sin(-θ)
sinθ=sin(π-θ)
を使ってる。
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合成って


 y = -sinθ - cosθ
  = Asin(θ + B)
 ただし、A>0
の形にすることかな?

三角関数の加法定理を逆に使って、

 y = -sinθ - cosθ
  = (√2)[sinθ・(-1/√2) + cosθ・(-1/√2)]   ①

として、
 cosB = -1/√2
 sinB = -1/√2
となる B を探す。
これを満たすのは
 B = (5/4)π

従って、①は

① = (√2){sinθ・cos[(5/4)π] + cosθ・sin[(5/4)π]}
 = (√2)sin[θ + (5/4)π]

よって
 -sinθ - cosθ = (√2)sin[θ + (5/4)π]


一般に、
 Asinθ + Bcosθ
では、表に出す定数は
 √(A^2 + B^2)
にします。
そうすれば
 Asinθ + Bcosθ
= [√(A^2 + B^2)]{sinθ・[A/√(A^2 + B^2)] + cosθ・[B/√(A^2 + B^2)]

ここで、
 A/√(A^2 + B^2) = cosΦ
 B/√(A^2 + B^2) = sinΦ
となる Φ は、
 tanΦ = B/A
なので必ず存在する。

よって
 Asinθ + Bcosθ = [√(A^2 + B^2)]sin(θ + Φ)
 (tanΦ = B/A)
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y = - sinθ - cosθ と θ = f(x) を合成すると、


y = - sin f(x) - cos f(x) です。
関数の合成は、こうして行います。
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−sinθ−cosθ


=(-√2){(1/√2)sinθ+(1/√2)cosθ}
=(-√2){cos(π/4)sinθ+sin(π/4)cosθ}
=(-√2)sin(θ+π/4)
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