「a>1 とする。曲線y=x^2+x-a^2+a とx軸および直線x=aとで囲まれた2つの部分の面積が等しくなるaの値を求めよ。またこのとき、それぞれの面積を求めよ」

このような問題に取り組んでいます
2つの部分のイメージは何とかつかめて、それぞれ積分の計算をしてイコールで結ぼうと思ったのですが、
曲線とx軸とx=aとで囲まれた部分(S2とします)
の面積がうまく出せません。
どうやればS1との式でうまくaの値が出せるのでしょうか?
回答いただけると助かります。
宜しくお願いいたします

A 回答 (4件)

y=x^2+x-a^2+a とx軸で囲まれた面積・・・S1


y=x^2+x-a^2+a とx軸とx=aとで囲まれた面積・・・S2
#2さんのおっしゃているように、S1がx軸より下にあり、S2が上にあることを考えると、
積分範囲を「y=x^2+x-a^2+a とx軸との交点の左側・・・αとする」から「y=x^2+x-a^2+a と x=a との交点のx座標(なんのことはないこれはaです)」までとして、その結果が0になれば S1=S2 ということになります。
αは方程式 x^2+x-a^2+a=0 の解の小さい方をである。
x=[-1±√{(2a-1)^2}]/2 の小さい方は
α=(-1-|2a-1|)/2
ここで場合わけして
0<a<1/2 のとき
α={-1-(1-2a)}/2=a-1 ここで積分を実行すると
∫[a-1~a](x^2+x-a^2+a)dx=a-1/6=0
∴a=1/6
1/2≦a のとき
α=(-1-2a+1)/2=-a ここで積分を実行すると
∫[-a~a](x^2+x-a^2+a)dx=a^2*(2-4a/3)=0
∴a=3/2 (a≠0)
計算間違いがあるかもしれませんので確認してください。
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#3です。


1<a を読み落としてました(0<aと勘違いしていた)
場合わけは必要なかったですね。
計算があっていれば a=3/2 のみが答えです。失礼しました。
またさらに計算をすすめたら、そのときの面積はそれぞれ 4/3 と出ましたが、あってますかね?
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この回答へのお礼

とてもわかりやすく教えていただき助かりました。
おかげでうまく理解することができました。
ありがとうございました

お礼日時:2005/04/03 22:15

x^2+x-a^2+aを因数分解すると(x+?1)(x-?2+?3)になります。

x=-?1,?2-?3,aの三点を使って積分します。
S1は-?1から?2-?3まで積分すればいいのですが、x軸の下にS1の領域があることに留意しました?S2は,?2-?3からaまで積分します。しかし、S1がX軸の下、S2が上にあることを使えば、積分計算をS1+S2=0と置き、計算を省略できます。
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S1は、aの式で表せたんですね。



曲線とX軸との交点もaの式で表せますよね。
つまりaから曲線とX軸との交点まで間の面積もaで表せますよね。

後はイコールで結ぶだけです。
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