「a>1 とする。曲線y=x^2+x-a^2+a とx軸および直線x=aとで囲まれた2つの部分の面積が等しくなるaの値を求めよ。またこのとき、それぞれの面積を求めよ」

このような問題に取り組んでいます
2つの部分のイメージは何とかつかめて、それぞれ積分の計算をしてイコールで結ぼうと思ったのですが、
曲線とx軸とx=aとで囲まれた部分(S2とします)
の面積がうまく出せません。
どうやればS1との式でうまくaの値が出せるのでしょうか?
回答いただけると助かります。
宜しくお願いいたします

A 回答 (4件)

y=x^2+x-a^2+a とx軸で囲まれた面積・・・S1


y=x^2+x-a^2+a とx軸とx=aとで囲まれた面積・・・S2
#2さんのおっしゃているように、S1がx軸より下にあり、S2が上にあることを考えると、
積分範囲を「y=x^2+x-a^2+a とx軸との交点の左側・・・αとする」から「y=x^2+x-a^2+a と x=a との交点のx座標(なんのことはないこれはaです)」までとして、その結果が0になれば S1=S2 ということになります。
αは方程式 x^2+x-a^2+a=0 の解の小さい方をである。
x=[-1±√{(2a-1)^2}]/2 の小さい方は
α=(-1-|2a-1|)/2
ここで場合わけして
0<a<1/2 のとき
α={-1-(1-2a)}/2=a-1 ここで積分を実行すると
∫[a-1~a](x^2+x-a^2+a)dx=a-1/6=0
∴a=1/6
1/2≦a のとき
α=(-1-2a+1)/2=-a ここで積分を実行すると
∫[-a~a](x^2+x-a^2+a)dx=a^2*(2-4a/3)=0
∴a=3/2 (a≠0)
計算間違いがあるかもしれませんので確認してください。
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#3です。


1<a を読み落としてました(0<aと勘違いしていた)
場合わけは必要なかったですね。
計算があっていれば a=3/2 のみが答えです。失礼しました。
またさらに計算をすすめたら、そのときの面積はそれぞれ 4/3 と出ましたが、あってますかね?
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この回答へのお礼

とてもわかりやすく教えていただき助かりました。
おかげでうまく理解することができました。
ありがとうございました

お礼日時:2005/04/03 22:15

x^2+x-a^2+aを因数分解すると(x+?1)(x-?2+?3)になります。

x=-?1,?2-?3,aの三点を使って積分します。
S1は-?1から?2-?3まで積分すればいいのですが、x軸の下にS1の領域があることに留意しました?S2は,?2-?3からaまで積分します。しかし、S1がX軸の下、S2が上にあることを使えば、積分計算をS1+S2=0と置き、計算を省略できます。
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S1は、aの式で表せたんですね。



曲線とX軸との交点もaの式で表せますよね。
つまりaから曲線とX軸との交点まで間の面積もaで表せますよね。

後はイコールで結ぶだけです。
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>一節が元になったとも語っている。

だそうで。
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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%96%E7%95%8C%E3%81%AB%E4%B8%80%E3%81%A4%E3%81%A0%E3%81%91%E3%81%AE%E8%8A%B1

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(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
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sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
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ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q「美咲ナンバーワン!」と「ごくせん」の似てるところ

ドラマ「美咲ナンバーワン!」って、「ごくせん」に似てるといいますが、
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いま、美咲ナンバーワンをみているんですが、
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プロ野球で活躍したナンバーワン投手を挙げて下さい

(基準は成績、球速、印象に残った試合などなど)

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y−xy'=−y
とありましたが、上記右辺の−yはBのx=0をy−xy'へ代入したものであると考えているのですが、
なぜ接線の方程式にBのx=0を代入し、y座標y−xy'を求めた後、その後再びy−xy'へx=0を代入しているのでしょうか?

説明が長くて申し訳ないです。
みなさんにお力を貸していただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

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Aのところの接線の方程式はx、yとはちがうX、Yをつかわなくてはならない。
これを使うと、接線の方程式は、A(x、y)を通り、傾きy'の直線だから、
Y―y=y'(X―x)、これからBのy座標は左の式にX=0を入れて
Y=y―xy'・・・① と出てくる。
そして、このy切片Yは条件からAのy座標yと真反対だからY=―y、これを①に入れて
―y=y―xy'・・・②

この①②のことを解説の式は言っていますよ。


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