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こちらの数学のサイトで
https://hiraocafe.com/note/local.html
極値について見ていたんですが

符号が変わったときではないというのはどういうことでしょうか

「こちらの数学のサイトで https://」の質問画像

A 回答 (5件)

> なぜ符号変化に着目しているのでしょうか?



そこに着目するのは「(考えている範囲内では)至る所連続で微分可能」という条件が与えられているか、導けるか、あるいはその性質を持つ関数が具体的に与えられている、という時にだけ有効ですね。
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この回答へのお礼

ああ!確かに最初に微分可能であることを示してますね…

お礼日時:2022/08/07 23:51

定義域を実数全体とすると, 関数


y = x^3 - x
は極大値・極小値を持つけど最大値・最小値は持たない.
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>>極値は何個もあると聞いたことがあるのですがそれはどういうことなんでしょうか



自分で3次、5次,、7次の関数グラフを書いて見。
山がいくつも出てくる。
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この回答へのお礼

全く関係がない事なんですけど不思議に思ったので聞かせてください

もし定義域が実数全体だとしたら
極大値は最大値と値が同じになりますか?

お礼日時:2022/08/07 23:54

>> f'(x)の符号変化が起きただけでは, 極大, 極小を判定できません.



というけれど、「あるδ>0が存在して、c-δ<x<cとc<x<c+δにおいて関数f(x)がいたるところ微分でき、c-δ<x<cならf'(x)<0, c<x<c+δならf'(x)>0であって、しかもf(x)がcで極値を取らない」ということが、さて、あるのかどうか。
…というご質問かと思います。

  f(x) = (x<cのとき-x+c-1で、 x>0のときx-c+1で、x=cのとき0)
という関数はそのような例になっていますから、なるほどf'(x)の符号変化が起きただけでは, 極大, 極小を判定できません。
 一方で、
  f(x) = (x=cのときc+1で、 x≠cのときx)
という関数は、x=cで極大になるけれども「f'(x)の符号変化」が起きない例です。すなわち、「極大, 極小であってもf'(x)の符号変化が起きるとは限らない」と言えます。

 (引用なさっている図は「極大, 極小であって、f'(x)の符号変化が起きているけれども、極小かと思ったら実は極大でした」的な例です。この話の説明用としてはあまり適切じゃないでしょうね。)
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この回答へのお礼

では極値を持つような条件を求める問題でなぜ符号変化に着目しているのでしょうか?

お礼日時:2022/08/07 21:35

f(x)が3次以上の関数の場合、符号が変わる点は変曲点であり、そこの全てが極大とか極小になる保証は有りません。


下図で●部分が変曲点で、その内赤●が極大・極小。
「こちらの数学のサイトで https://」の回答画像1
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この回答へのお礼

極値は何個もあると聞いたことがあるのですがそれはどういうことなんでしょうか…

お礼日時:2022/08/07 21:27

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