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この問題を解いたところ
(1)lim_{x ⇢0} g(x)=g(0)

は一般には正しくありません。

(2) 1^x の定義自体が微妙です。 (あえて使うならこの場ではっきり定義すべき。)

議論の論拠もありません。

問題2

議論が全く不足しています。
というふうに言われたのですがどう直せば正しくなるのか教えていただきたいです。

「この問題を解いたところ (1)lim_{」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 問題2についての回答をいただきたいです。よろしくお願いします。

      補足日時:2022/08/07 21:58
教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

50.1の(1)の答案:


  lim{x→0} f(x)g(x) = (lim{x→0} f(x)g(x)) (lim{x→0} g(x))
とどうして言える? 例えばf(x)=1/x, g(x)=xだったら言えない。だから、「(a)(b)(c)のドレを根拠にしてどういうリクツでこれが言えるのか」を議論する必要がある。  
 次に
  lim{x→0} g(x) = g(0)
とどうして言える? 例えば
  g(x) = (x=0のとき1で、x≠0のときx)
だったら、そんなの言えない。(そして、(a)(b)(c)のドレもこれが言える根拠にはならない。)

50.1の(2)の答案:
 まるでトンチンカンで、答になっていない。「[-1,1]において、gが有界、fが連続であって、かつ f(x)g(x) がx=0で連続でない」ような例を構成しろ、という問いなんですから、
  ● 具体的にfとgを与えること。
  ● そのf,gが実際に例になっていることを証明すること。
この二つが求められています。
 ついでに、
  f(x) = 1^x
ってのは
  f(x) = 1
とどう違うという積もりなのか。

50.2の答案:
 [0,1]→Rの有界連続関数に最大値があるというのは問題11.1でやったらしいが、最小値についてはまだ何も言っていないのだから、(「同様に」じゃダメで)自前で証明する必要がある。
 そして大欠陥は、|f(x)|≦tan(M)からfが有界だとどうして言えるのかということ。それを言うのに必要なのは |arctan(f(x)|<π/2 であって、≦を言っただけじゃ話にならない。だから、M<π/2 を示す必要がある。(このとき、「f(x)は有界だ」ということを利用するわけにはいかない。だってそれを証明しようとしているんだから。)
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(1)


gは[-1,1]上で有界だから
あるM>0が存在して
-1≦x≦1の時|g(x)|<M

f(x)はx=0で連続だから
任意のε>0に対して
ε/Mに対して
あるδ>0が存在して
|x|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(0)|=|f(x)|<ε/M
だから
|h(x)-h(0)|=|g(x)f(x)-g(0)f(0)|=|g(x)f(x)|<Mε/M=ε
だから
h(x)はx=0で連続

(2)
f(x)=1
g(0)=0
x≠0のときg(x)=1
とすれば
任意のδ>0に対して
x=δ
|h(x)-h(0)|=|f(δ)g(δ)|=1だから
h(x)=f(x)g(x)はx=0で不連続

50.2)
閉区間上の連続関数f:[0,1]→R

g(x)=arctan(f(x))
とすると
|g(x)|<π/2
だから
|g(x)|は[0,1]上の有界連続関数だから最大値をもつ
それを
|g(a)|とすると
|g(x)|≦|g(a)|
-|g(a)|≦g(x)≦|g(a)|
-|arctan(f(a))|≦arctan(f(x))≦|arctan(f(a))|
-|f(a)|≦f(x)≦|f(a)|
|f(x)|≦|f(a)|
なので
fは有界
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(1)


gは[-1,1]上で有界だから
あるM>0が存在して
-1≦x≦1の時|g(x)|<M

f(x)はx=0で連続だから
任意のε>0に対して
ε/Mに対して
あるδ>0が存在して
|x|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(0)|=|f(x)|<ε/M
だから
|h(x)-h(0)|=|g(x)f(x)-g(0)f(0)|=|g(x)f(x)|<Mε/M=ε
だから
h(x)はx=0で連続

(2)
f(x)=1
とすればよい
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