2022.8.5 05:49に頂いた解答について質問があります。 「f(z)=1/(z^2-1) の

2022.8.5 05:49に頂いた解答について質問があります。

「f(z)=1/(z^2-1)
の
0<r<2
C={z||z-1|=r}
でのローラン展開
1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
は
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}dz
となるから
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}とすれば
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
a(n)=Res(g(z),1)
となるから
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}としたのです
f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}ではありません
同じ変数f(z)を使ってはいけません
f(z)=1/(z^2-1)
としたのならば
a(n)=Res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)
または
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}
a(n)=Res(g(z),1)
とすべき」

なぜ、
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}に関して求めたa(n)と
f(z)=1/(z^2-1)に関して求めたa(n)は
どちらもa(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}なのでしょうか？

また、res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)からf(z)=1/(z^2-1)として、a(n)を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• mtrajcpさん、どうもありがとうございます。
  
  ちなみに、画像に関して質問があります。
  
  右辺は左辺のテイラー展開との事ですが、これは右辺の指数が正だからでしょうか？
  というのも、テイラー展開は指数が正の値のみ使えるためです。
  
  指数が正の範囲での近似式はすべてテイラー展開と言われるのでしょうか？
  それとも、右辺はテイラー展開の公式と一致するとかでしょうか？仮に一致するならば右辺とテイラー展開の公式が一致する事を説明してほしいです！
  どうかよろしくお願いします。

  
    補足日時：2022/08/10 00:25

• なるほど、ありがとうます。
  テイラー展開はf(z)=Σ{m=∞〜0}(1/m!)f^(m)(π/2)(z-π/2)^mであるため、
  
  (z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)の右辺とテイラーの公式を見比べると
  
  a(n)が(1/m!)f^(m)(π/2)にあたり、(z-π/2)^(n+1)が(z-π/2)^mにあたると考えると、テイラー展開と言えるかもしれません。
  
  ちなみに、載せた画像よりa(n)を(1/m!)f^(m)(a)置いたとして画像の式の右辺は(1/m!)f^(m)(a)ではないですが、(1/m!)f^(m)(a)から画像の式の右辺と=で結べると思うのですが、(1/m!)f^(m)(a)から画像の右辺を導くまでを教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/10 05:16

• また、画像において、最終的には
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)とg(z)=(z-π/2)tan(z)のどちらも出来るが、a(n)に置ける積分ができない為、g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)ではなく、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)としたと解答を頂いたのですが、
  
  なぜ、そこからg(z)=(z-π/2)tan(z)において、
  「tan(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n
  ↓両辺に(z-π/2)をかけると
  ...
  
  (z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)」
  のように(z-π/2)tan(z)のテイラー展開を導く必要があるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/10 20:01

• ちなみに、n≦-2の時はa(n)=0ですが、
  そうならば、
  a(n)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式はn≦-2の時0になると思うのですが、n≦-2の時はtan(z)/(z-π/2)^(n+1)の部分が収束するため、0になるのでしょうか？
  
  出来れば、n≦-2の時にa(n)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)が0になるまでの過程の計算を教えてほしいです。

    補足日時：2022/08/11 09:46

• ありがとうございます。
  
  あの、復習していて疑問点があります。
  
  赤い下線部のg(z)は1/(z^2-1)で正しいでしょうか？
  
  また、
  青い下線部の式はb(k)と置いていますが、bをa、kをnに置き換えてa(n)としても問題ないと思うのですが、正しいでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/12 08:33

• ありがとうございます。
  あの、以前の解答にz=1で1位の極と書いてあるのですが、正しくはz=1でn+2位の極で良いのでしょうか？
  
  
  z=-1で1位の極を持つのは、
  1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)の(z+1)はz=-1で極を持ち、(z+1)の指数が1(=k)であるため、
  z=-1で1位の極を持つとわかりました。
  
  出来れば、
  Res(g(z),-1)
  =lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
  =1/(-2)^(n+2)について、
  Res(g(z),-1)
  から
  =1/(-2)^(n+2)を導くまでを
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願いします。

  
    補足日時：2022/08/12 21:56

• 以前に頂いた解答について、画像のようなa(n)の式を見つけたのですが、この式の右辺を使ってもa(n)が求まるのでしょうか？
  
  例えば
  「f(z)=1/(z^2-1)
  r>2
  C={z||z-1|=r}
  n≦-2の時
  |z-1|<r
  g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)」
  の時、画像の右辺のlim{z→1}(z-1)g(z)から
  1/(-2)^(n+2)を導けるならば、導くまでを教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/13 06:44

No.34 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/13 16:14

a(n)=lim_{z→1}(z-1)g(z)(※g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1))

は
間違いです収束しません発散します
i)の場合のa(n)の求め方は以下の通り

i)
f(z)=1/(z^2-1)
の
0<|z-1|<2
での
ローラン展開は
1/(z^2-1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^m
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
↓左辺はz→1の時収束するから右辺も収束するから
------------------
n≦-2の時a(n)=0
-----------------
だから
1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
↓n≧-1の時、両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

n=-1の時
{1/(n+1)!}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=1/(z+1)=(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
ある整数n≧-1に対して
{1/(n+1)!}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
と仮定し両辺を微分すると
{1/(n+1)!}(d/dz)^(n+2){1/(z+1)}=(-1)^(n+2)(n+2)/(z+1)^(n+3)
↓両辺を(n+2)で割ると
{1/(n+2)!}(d/dz)^(n+2){1/(z+1)}=(-1)^(n+2)/(z+1)^(n+3)
だから
全ての整数n≧-1に対して
{1/(n+1)!}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
が成り立つ
↓z→1とすると

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
=-1/(-2)^(n+2)

∴n≧-1の時
a(n)=-1/(-2)^(n+2)
n≦-2の時
a(n)=0

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、過去の解答を見るとa(n)=lim_{z→c}(z-c)g(z)はk=1から導かれた式であるため、
k=1の時に極を持つようなz=-1かつ|z-1|>2などの時の式にしか使えないため
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)の0<|z-1|<2かつz=1では(k=)n+2位の極を持つからa(n)=lim_{z→c}(z-c)g(z)は使えないため、頂いた解答のようにa(n)を導くとわかりました。

お礼日時：2022/08/13 23:42

No.35 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/13 18:43

＞ 画像のような a(n) の式を見つけたのですが、

＞ この式の右辺を使っても a(n) が求まるのでしょうか？
＞ Res(g(z),c) = lim_{z→c} (z-c)g(z)

その式が成り立つのは、z = c が g(z) の 1位の極である場合だけでしたね。
例の留数の公式の使い方は理解しましたか？
g(z) = 1/{ (z^2-1) (z-1)^(n+1) } は、
z = 1 に n+2位の極
z = -1 に 1位の極を持ちますが、
c = -1 の話をしているんでしょうか？

それだと、Res[g(z),c] を使って 1/(z^2-1) の z = 1 中心のローラン展開を
求めることはできそうにありません。 今回の a(n) は違うんでしょうか？

No.33 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/13 11:33

a(n)=lim_{z→1}(z-1)g(z)(※g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1))

は
間違いです収束しません発散します

この回答へのお礼

なるほど、a(n)=lim_{z→1}(z-1)g(z)(※g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1))に関しては、
a(n)=lim_{z→1}(z-1)g(z)はk=1の時にしか使えないのに、z→1の時はg(z)はn+2位となるため、a(n)=lim_{z→1}(z-1)g(z)は使えません。

故に、本来ならばi)0<r<2の場合かつn≦-2かつ(0<r<2を考慮した上で)r=1の時はa(n)は収縮してコーシーの積分定理によりa(n)は0となるのに発散するといった誤った計算結果を導いています。

お礼日時：2022/08/17 10:50

No.32 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/13 09:49

ii)

f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz

n≦-2の時
n+2≦0
0≦-n-2
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
は
|z-1|<rでz=-1で1位の極を持つから
留数定理から
{1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=Res(g(z),-1)
となるから
a(n)=Res(g(z),-1)

g(z)のz=-1の周りでのローラン展開は

g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z+1)^k

b(k)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}{g(z)/(z+1)^(k+1)}dz
となる
k=-1の時
b(-1)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dz
(留数の定義)から
Res(g(z),-1)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dz
だから
b(-1)=Res(g(z),-1)
だから
a(n)=Res(g(z),-1)=b(-1)
だから
a(n)=b(-1)

g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z+1)^k
↓g1(z)=Σ_{k=0～∞}b(k)(z+1)^kとすると
g(z)=b(-1)/(z+1)+g1(z)
↓両辺に(z+1)をかけると
(z+1)g(z)=b(-1)+(z+1)g1(z)
↓z→-1とすると
lim_{z→-1}(z+1)g(z)=b(-1)
↓a(n)=b(-1)だから
a(n)=lim_{z→-1}(z+1)g(z)
↓g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)だから

a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
∴
n≦-2の時
a(n)=(-2)^(-n-2)

n≧-1の時
n+1≧0
g(z)=f(z)(z-1)^(-n-1)は
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)

Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)

Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)

a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0
∴
a(n)=0

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほどa(n)=lim_{z→c}(z-c)g(z)を使えば楽にa(n)が求まるとわかりました。

ちなみに、i)0<r<2の場合かつn≦-2かつ(0<r<2 を考慮した上で)r=1の時はa(n)は0となりますが、
a(n)=lim_{z→1}(z-1)g(z)(※g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1))から
=lim_{z→1}1/{(z^2-1)(z-1)^n
となりますが、この式から0となるまでを教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/13 11:00

No.31 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/13 03:56

i)

f(z)=1/(z^2-1)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
の時は
f(z)はz=1で1位の極を持つ
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
n≧-1の時
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
は|z-1|<rでz=1でn+2位の極を持つ
n≦-2の時
g(z)=f(z)(z-1)^(-n-1)
は|z-1|<rでは正則

ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
n≦-2の時
|z-1|<rで
g(z)=f(z)(z-1)^(-n-1)はz=-1で1位の極を持つ
留数定理から
{1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=Res(g(z),-1)
となるから
a(n)=Res(g(z),-1)

Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)
∴
a(n)=1/(-2)^(n+2)

n≧-1の時
n+1≧0
g(z)=f(z)(z-1)^(-n-1)は
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)

Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)

Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)

a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0
∴
a(n)=0

この回答へのお礼

ありがとうございます。
画像は正しい事がわかりました。
0<r<2より0<|z-1|<2であり、z=1で
z→1より0<|1.11-1|<2とかで0<|0.11|<2となり、0<|z-1|<2に対応して、なおかつf(z)=1/(z^2-1)の時にz=1は1位だとわかりました。
すなわち画像は正しいです。(※z=-1の時、z→-1より0<|z-1|<2では矛盾するため、z=-1の場合はない。)
勘違いしてg(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)の時にz=1は1位だと書いてあるのかと思ってしまいました。

あの
Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)
については、過去にa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って1/(-2)^(n+2)を求めたような気がするのですが、
どうか、どうやって
Res(g(z),-1)からa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)を導くまでを教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/13 05:02

No.30 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/13 03:45

i)

f(z)=1/(z^2-1)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
の時は
f(z)=1/(z^2-1)はz=1で1位の極を持つ
n≧-1
n+1≧0
|z-1|<rで
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)はz=1でn+2位の極を持つ

No.29 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/12 21:02

はい正しいです

ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
n≧-1
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)

Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)

Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)

a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0
∴
a(n)=0

No.28 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/12 20:03

i)

f(z)=1/(z^2-1)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
の時は
n≧-1
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
|z-1|<rでz=1でn+2位の極を持つで正しい
けれども

ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
n≧-1
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),1)+Res(g(z),-1)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、ii)のa(n)=Res(g(z),1)+Res(g(z),-1) は0になるで正しいでしょうか？

お礼日時：2022/08/12 20:38

No.27 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/12 19:17

i)

f(z)=1/(z^2-1)
0<|z-1|<2
でのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
n≦-2の場合は　a(n)=0
だけれども

ii)
f(z)=1/(z^2-1)
|z-1|>2
でのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
n≦-2の場合は　a(n)=(-2)^(-n-2)
です

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、

0<r<2
C={z||z-1|=r}
の時は
n≧-1
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
|z-1|<rでz=1でn+2位の極を持つで正しいでしょうか？

お礼日時：2022/08/12 19:44

No.26 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/12 14:10

＞ 赤い下線部のg(z)は1/(z^2-1)で正しいでしょうか？

正しいも、正しくないも、それは写真の範囲には書いてない。
もっと前のほうに書いてあったんじゃないの？

＞ 青い下線部の式はb(k)と置いていますが、
＞ bをa、kをnに置き換えてa(n)としても問題ないと思うのですが
＞ 正しいでしょうか？

それをして問題ないかどうかは、一連の文章の中で
a( ), k を他の意味に使っていないかしだい。
他の意味に使っていなければ問題ない。
(君は 1/(z^-1) のローラン展開と tan z のローラン展開を
同時に議論して、両方の係数を a(n) と置いてしまったり、
文章の中で n と k を取り違えたりの前歴があるから、
そのへんは慎重にチェックしてからのほうがいい。)