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なぜ物理で近似をするときに分母で近似したら答えが変わってしまうんですか?

「なぜ物理で近似をするときに分母で近似した」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • yhr2さんすみません
    なんでもないです

      補足日時:2022/08/09 23:37
  • いやすみませんやっぱり気になります
    なぜ分母で近似したままやってしまうとダメなんですか?

      補足日時:2022/08/09 23:39
  • やっぱり気になるんですが分母のまま近似してしまうと下の引き算がズレてしまいませんか?

      補足日時:2022/08/09 23:43
  • 分母のまま計算するとです

      補足日時:2022/08/09 23:43
  • すみませんバグで送れてなかったので連投してしまいました
    この前のやつは無視してもらって構いません

      補足日時:2022/08/09 23:44

A 回答 (4件)

No.3 です。



>本質問(一番最初の質問)の上2行の計算の近似を分母のまま(マイナス2乗のまま)近似して
>そのまま復元力へと立式すると
>答えがズレてしまうのは何故なんでしょうか

何のことか分かりません。
どのように「ズレる」のか、式を書いてもらえますか?

もし、画像の下の3行のことであれば

mα = k0・Q・q{1/(a + x)^2 - 1/(a - x)^2}
  = k0・Q・q{[(a - x)^2 - (a + x)^2]/[(a + x)^2・(a - x)^2]}
  = k0・Q・q{[a^2 - 2ax + x^2 - (a^2 + 2ax + x^2)]/[(a^2 - x^2)^2]}
  = k0・Q・q{ -4ax/(a^2 - x^2)^2}
  = -4k0・Q・q{ ax/(a^2 - x^2)^2}
  = -4k0・Q・q{ ax/[a^4(1 - (x/a)^2)^2] }
  = -4k0・Q・q{ x/[a^3(1 - (x/a)^2)^2] }     ①

ここで x/a << 1 によって
 (x/a)^2 ≒ 0
と近似すれば

① = -4k0・Q・q{ x/[a^3(1 - 0)^2] }
 = -4k0・Q・q・x/a^3

で画像の結果と同じになりますよ?
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この回答へのお礼

すみません多分計算ミスしてました……

お礼日時:2022/08/10 09:58

No.1 です。



「補足」のどれが聞きたいことなのですか?

>やっぱり気になるんですが分母のまま近似してしまうと下の引き算がズレてしまいませんか?

って、どれの、どこの、何のことを言っているのですか?
もう少し「第三者に分かるように」書いてください。
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この回答へのお礼

ほんとにすみません
言語能力が足りなくて……
本質問(一番最初の質問)の上2行の計算の近似を分母のまま(マイナス2乗のまま)近似して
そのまま復元力へと立式すると
答えがズレてしまうのは何故なんでしょうか
という質問です

お礼日時:2022/08/10 00:33

特に問題ないと思うけど


疑問点はどこ?
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この回答へのお礼

分母のまま近似することを聞きたかったんですが
1番目の人が答えてくれました
お手数お掛けしてすみません

お礼日時:2022/08/09 23:36

>分母で近似したら



質問の意味が不明です。

(1 + x/a)^(-2) ≒ 1 - 2x/a
で「+」が「-」になり、

(1 - x/a)^(-2) ≒ 1 + 2x/a
で「-」が「+」になることが「不思議」だということですか?

これは x/a << 1(1に比べて非常に小さい)なので
n ≧ 2 に対して
 (x/a)^n ≒ 0
と近似することを使っています。

本来であれば「テイラー展開」というものを使うのですが、高校生レベルで書けば

(1 + x/a)^(-2) = 1/(1 + x/a)^2
= 1/[1 + 2x/a + (x/a)^2]
≒ 1/[1 + 2x/a]     ←(x/a)^2 ≒ 0 と近似
= (1 - 2x/a)/[(1 + 2x/a)(1 - 2x/a)]  ←分母・分子に(1 - 2x/a)をかける
= (1 - 2x/a)/[1 - 4(x/a)^2]
≒ (1 - 2x/a)/[1 - 0]     ←再び (x/a)^2 ≒ 0 と近似
= 1 - 2x/a

ということです。
一度「分母で近似」して、それを一種の「有理化」で「x の多項式」に変換します。

(1 - x/a)^(-2) の場合も同様に

(1 - x/a)^(-2) = 1/(1 - x/a)^2
= 1/[1 - 2x/a + (x/a)^2]
≒ 1/[1 - 2x/a]     ←(x/a)^2 ≒ 0 と近似
= (1 + 2x/a)/[(1 - 2x/a)(1 + 2x/a)]  ←分母・分子に(1 + 2x/a)をかける
= (1 + 2x/a)/[1 - 4(x/a)^2]
≒ (1 + 2x/a)/[1 - 0]     ←再び (x/a)^2 ≒ 0 と近似
= 1 + 2x/a
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この回答へのお礼

分母のまま近似してしまうと下の引き算がズレてしまいませんか?

お礼日時:2022/08/09 23:36

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