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証明無しの情けない回答があった。そこで
 ∫(logx)ⁿdx=xΣ[k=0,n] (-1)^k P(n,k) (logx)^(n-k)
を証明してください。

ここで、P(n,k) は順列です。

質問者からの補足コメント

  • 迷いましたが、応答のない#1さんの回答が簡潔、クールなので
    BAにしました。

      補足日時:2022/08/08 22:53
教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

右辺を微分する.

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この回答へのお礼

いつものように高尚?すぎてわかんない。教えて。

お礼日時:2022/08/08 22:00

A[n] = { n! (-1)^n }{ C + x Σ[k=0..n]{ (- log x)^k }/k! }  ;前回の答え


  = x Σ[k=0..n] (-1)^(n+k) { n! /k! } (log x)^k     ;C=0 のとき
  = x Σ[h=0..n] (-1)^(h+2k) { n! /(n-h)! } (log x)^(n-h) ;k+h=n とおく
  = x Σ[h=0..n] (-1)^h (nPh) (log x)^(n-h).
前よりよくなった気はあまりしない。
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この回答へのお礼

失礼しました。BAに気を取られて、証明されていたんですね。

xΣ[k=0,n] (-1)^k P(n,k) (logx)^(n-k)
=xΣ[k=0,n] (-1)^(n-k) P(n,(n-k)) (logx)^k

となるだけだったんですがね。

お礼日時:2022/08/08 22:51

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