複素関数と実関数のテーラー展開の違いについて

複素関数と実関数のテーラー展開は、参考書を見る限り形式的にはまったくいっしょですが、実関数が
　　微分可能 → 平均値の定理 → テイラーの定理 → テイラー展開
というコースをたどるのに対し、複素関数の場合
　　正則 → コーシーの積分公式 → グルサの定理 → テイラー展開 → ローラン展開
という感じですよね。
　で、質問というか確認なのですが、複素関数では実関数のような平均値の定理は一般に成り立たないので、その拡張であるテイラーの定理も当然成り立たないのですよね。
　テイラー展開は見事なまでに一致しているのに、テイラーの定理が成り立たないというのちょっと違和感があります(^O^)。参考書にはこのことについての説明がまったくないですし。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/09 08:13

細部の書き方、特に剰余項の形にもよるが、

複素関数でもテイラーの定理は成り立つ
と考えたほうがよいのではないだろうか？
というか、「細部」の記述は
複素関数でも成り立つ形で整えたほうが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
> 細部の書き方、特に剰余項の形にもよるが、
> 複素関数でもテイラーの定理は成り立つ
> と考えたほうがよいのではないだろうか？

　ああ、なるほど。しかし、

コーシーの積分公式 → グルサの定理 → テイラー展開

なんだから、とくにそんなことする必要ないわけですね。

お礼日時：2022/08/09 19:00