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i を虚数単位として
∫[-∞,∞]e^{-(x-i)^2}dx は
∫[-∞,∞]e^{-x^2}dx と同じく√π となりますが、前者はどのように計算すればよいでしょうか。教えてください。

質問者からの補足コメント

  • ありものがたりさんへの返信で|z|=1 は |z|=r の誤りでした

      補足日時:2022/08/10 16:53

A 回答 (2件)

複素平面上に、Im z = 0, Im z = 1, |z| = r の線を描いて、


これらが交差して作る長方形っぽい図形の周 C を廻る
閉路積分 ∮[C]e^{-x^2}dx を考えてみてください。
e^{-x^2} は正則関数なので ∮[C]e^{-x^2}dx = 0 ですが、
r→+∞ のとき、下の辺上での積分が →∫[-∞,∞]e^{-x^2}dx、
下の辺上での積分が(向きが逆なので) →-∫[-∞,∞]e^{-(x-i)^2}dx、
円弧上での積分が →0 となるので、
結局、0 = ∫[-∞,∞]e^{-x^2}dx + 0 - ∫[-∞,∞]e^{-(x-i)^2}dx + 0
になります。
∫[-∞,∞]e^{-x^2}dx = √π になる話は有名で
どこにでも書いてあるので、上の式と併せると
∫[-∞,∞]e^{-(x-i)^2}dx = √π が判ります。
いやー、留数定理ってホントにいいものですね。サイナラ、サイナラ...
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この回答へのお礼

経路は Imz=0, Imz=-1, |z|=1 ですね。間に円弧を挟むと面倒な計算はいらないのですね。
結局、この場合は実軸上の積分値と Imz=-1上の積分値が同じになるということですね。
大変ありがとうございました。

お礼日時:2022/08/10 16:50

蛇足ながら


積分路の側辺はRez=-R、Rez=R、というたて線にすれば
この立て線上でe^-z²の絶対値≦e^-R²がすぐ出てくるから
側辺上の積分がR→∞のとき0に収束が見やすいです。
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この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。普通に長方形の積分路をとればよいのでしたね。

お礼日時:2022/08/11 17:19

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