x+y+2=0,√3x-y-3=0,この二直線のなす角を求めよ。

A 回答 (6件)

この問題は公式に当てはめればすぐに出来るなあ。

うっかりして難しく回答してしまった。
tanθ=|tan(θ’-θ”)| に直接代入してやればいいんだ。

tanθ=|tan(135°-60°)|=|tan75°|=tan75°
⇔θ=75°
公式に頼りすぎて本質を見誤ってしまいました。NO.5は「さて問題を解こう~」は以下は無視してかまいません。
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一般に、直線lと直線mのなす角θは、


直線lとx軸が作る角=θ’とし、{交点の右側(x軸の正方向)から反時計まわりに角度を測る}
直線mとx軸が作る角=θ”とすると、(同上)

tanθ=|tan(θ’-θ”)|  (∵2直線はいろいろな位置や角度で交わるがすべてこの式で表現できる。自分で試してみるとよい。わからなければまた質問してね)
=|tan(θ’)-tan(θ”)|/|1+tan(θ’)tan(θ”)|…☆ (∵加法定理)

また、直線lの傾きをa,直線mの傾きをbとすれば、
a=tan(θ)’,b=tan(θ”)である。(図を描けばすぐわかる。)
これを☆式に代入して

tanθ=|tan(θ’)-tan(θ”)|/|1+tan(θ’)tan(θ”)|
=|a-b|/|1+ab|である。…☆’

☆式と☆’式はどちらも便利なので覚えよう。問題によって使い分けることもあろうから。

さて問題を解こう。
x+y+2=0⇔y=-x-2…(1)
√3x-y-3=0⇔y=√3x-3…(2)
よって、直線(1)の傾き=-1=tan135°,直線(2)の傾き=√3=tan60°であるから、
tanθ=|tan135°-tan60°|/|1+tan135°+tan60°|
=|tan75°|=tan75°
⇔θ=75°(tan75°=tan255°より、θ=255°も満たすが、普通なす角といわれれば鋭角なのでそれに習った)

以上
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おっとミスが・・



(*)=(1/√2)[(√3/2)-(1/√2)]
  =(1/√2)(√3/2)-(1/√2)(1/√2)=COS45°COS30°-sin45°sin30°=COS(45°+30°)=COS75°

です。しかしこんなの慣れないと思いつきませんがね・・・
普通は他の方が行っている方法が適していますね。
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たしかにこれはベクトルで解くのはちょっといやですかね^^;


もう他の人が答えられているので、あえてベクトルで・・・

とりあえず、二直線の法線ベクトルは、x、yの係数から

  x+y+2=0 -> (1,1)  ・・・(1)

 √3x-y-3=0 -> (√3,-1)  ・・・(2)

で、これらのベクトルの成す角と二直線の成す角は当然同じです。
で・・・内積を取ろうとしても、ちょっと複雑・・・

 COS<なす角>=[√3-1]/2√2  ・・・(*)

となりますから・・・
ただ、これを例えば、x軸方向のベクトル(1,0)とのなす角をそれぞれ計算すると、

 COS<(1)とx軸のなす角>=1/√2 ・・・>45°

 COS<(2)とx軸のなす角>=√3/2 ・・・>-30°(ベクトル(2)の向きに注意・・

よって、(1)と(2)のなす角は75°となります。

もしかして出題者は(*)を変形して、

(*)=(1/√2)[(√3/2)-(1/√2)]
  =COS45°[COS30°-sin30°]=COS(45°+30°)=COS75°

として欲しいのかな・・・
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ベクトル使わない方が簡単なんですが…。


グラフを考えましょう。
前者は傾き-1、すなわちx軸の正方向とのなす角は135度
後者は傾き√3、すなわちx軸の正方向とのなす角は60度
よってニ直線のなす角は(135-60ですね)75度。
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この回答へのお礼

なるほど!分かりやすいです!!どうもありがとうございました!

お礼日時:2001/09/06 18:26

回答します。


y=-x-2 …(1)  
y=√3x-3 …(2)
それぞれ、傾きは、
(1)はy軸から左へ45°傾いています。
(2)は、「1:2:√3」の三角形ができますので、
y軸から右へ30°傾いていることが判ります。
したがって、これらのなす角は75°です。
#う~む、あんまりアカデミックではないですね。 (^^;)

ところで、こういう場で質問するときは、
問題だけを書くのは回答してくれる人に失礼ですよ。
少なくとも「よろしくお願いします。」くらいは書かないとね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!それから今度から書き方に気をつけます!

お礼日時:2001/09/06 18:24

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