2つの放物線C1:y=x^2-(a+1)x+a とC2:y=x^2-(a-1)x-a がある。ただし-1<a<1。
(1)C1とC2の両方に接する直線lの方程式を求めよ。
(2)C1とC2およびlによって囲まれた図形の面積を求めよ


(1)はC1上の点(t、t^2-(a+1)t+a)における接線をあらわして、それがC2に接しているから、それとC2を=でつないで、判別式=0をりようしたところ、
l:y=ax-a^2-1/4となりました。
計算が不安です。
解答のプロセスとしてはこれでいいのでしょうか?
ほかにもやり方があれば教えていただきたいです。

(2)がよくわからないのですが、C1とC2の交点のx座標、C1とlの交点のx座標、C2とlの交点のx座標を出さなければならないのでしょうか?

面倒だとは思いますが、回答いただけると幸いです。
宜しくお願いいたします

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

(1)は他の方々が答えておられるので、(2)についてアドバイスをしておきます。



>C1とC2の交点のx座標、C1とlの交点のx座標、C2とlの交点のx座標を出さなければならないのでしょうか?
その方針でいいと思います。ただ、(1)で判別式=0となる様にしましたからC1-l,C2-lの式は因数分解できそうですね。
実際、x^2-(a+1)x+a-(ax-a^2-1/4),x^2-(a-1)x-a-(ax-a^2-1/4)を因数分解すると
(x-A)^2という形に因数分解できます。だから、x座標は簡単な形にまとまります。
積分もこのまま
∫(x-A)^2dx=1/3(x-A)^3+C
で計算すると後の計算も難しくないと思います。トライしてみて下さい。
    • good
    • 0

(1)の他のやり方ですが参考程度に



C1:y=x^2-(a+1)x+a
このC1の点(t、t^2-(a+1)t+a)における接線は
y'=2x-(a+1)なので
y1=(2t-a-1)(x-t)+t^2-(a+1)t+a
=(2t-a-1)x-t^2+aとなる。同様にして
C2:y=x^2-(a-1)x-a 
このC2の点(s、s^2-(a-1)s-a)における接線は
y2=(2s-a+1)x-s^2-aとなる

ここy1とy2が同じ直線であるとするならば、
(1)y1の傾き=y2の傾きと(2)y1の切片=y2の切片で連立方程式をたてて解き
t=a+1/2 ,s=a-1/2
と出るので、y1,y2どっちでもいいのでsまたはtを代入して
y=ax-a^2-1/4を得る
このやり方だと検算できるんですよ。s.tのどちらか余っている方を計算すると。

(2)は三点を出してa点で二つにわけてゴリゴリ積分計算するしかないのでは・・・。
    • good
    • 0

自信はないですが、


(1)の答え、あってそうです。
あえて、別解を書くなら、接線の方程式をy=px+qと置き、この直線とC1に関し、判別式D=0、同様にC2についてD=0として、連立方程式を解く方法。

(2)は積分が必要そうなので、各x座標を求める必要がありそうです。
面倒なので求めてません、ごめんなさい。

どこで、aの範囲が効いてくるのかが疑問のままですが...

この回答への補足

回答ありがとうございます。

>どこで、aの範囲が効いてくるのかが疑問のままですが...

私もよくわかりません。なぜaの範囲が必要なのでしょうか??

補足日時:2005/04/04 09:32
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q放物線と直線に囲まれる部分の面積

放物線y=x^2と直線y=0に囲まれる部分の面積Sは、0<aとして
lim(n →∞)Sn=lim(n →∞)1/n{(a/n)^2+(2a/n)^2+(3a/n)^2+…+(na/n)^2}a/n
になるそうです。
{ }内は各長方形の縦の辺の合計、a/nは長方形の横の辺ということは理解できます。
ですが { 前の1/nがなぜ必要なのか分かりません。
初心者ですので分かりやすい説明をお願いいたします。

Aベストアンサー

1/nは不要です。ミスプリでしょう。
x=0~aをn等分してi番目の短冊の面積dSを考えると
dS=[(a/n)i]^2・(a/n)
これをi=1~nまで足すと放物線、y軸、x=aで囲まれた部分の面積Sは
S=Σ(i=1~n)[(a/n)i]^2・(a/n)=(a/n)^3Σ(i=1~n)i^2
=(a/n)^3)[n(n+1)(2n+1)/6]
n→∞で
S=a^3/3
これはx^2のx=0~aの積分と一致します。

Q放物線y=(1/2)x^2+xと円(x-1)^2+(y+1)^2=2の

放物線y=(1/2)x^2+xと円(x-1)^2+(y+1)^2=2の両方に接する直線の方程式を求めよ

という問題が解けません。

高2が分かるような解き方がありましたら教えてくださいませんか?;w;

Aベストアンサー

求める直線をy=ax+bとおいて、
(1)放物線とこの直線が接する→(1/2)x^2+x=ax+bとしてこの二次方程式が重解を持つ
(2)円と直線が接する→円の中心からy=ax+bまでの距離が円の半径に等しい

この二つを連立させればaとbが求められます。

Qxy平面において放物線C1:y=x^2-4x-1を点P(P、2P)に関

xy平面において放物線C1:y=x^2-4x-1を点P(P、2P)に関して点対称移動して得られる放物線をC2とする。

と問題文にあるのですが、点Pの中に文字が含まれていてc2がどのようなグラフになるのか分かりません(>_<)

Pを使ってc2の式や頂点を表すにはどうしたらいいのか教えてください。(高校生です)

Aベストアンサー

C1上の点(x,y)を点P(p,2p)を中心に点対称移動したC2上の点Q(X,Y)とすると

(x+X)/2=p
(y+Y)/2=2p

これから
x=2p-X, y=4p-Y

C1の式に代入して
4p-Y=(2p-X)^2-4(2p-X)-1

Yについて整理
Y=-X^2+4(p-1)X-4p^2+12p+1

一般の流通座標にX,Yを置き換えて
y=-x^2 +4(p-1)x-4p^2+12p+1
=-{x-2(p-1)}^2 +4p+5

これが求める軌跡の放物線の方程式です。
上に凸の対称軸 x=2(p-1)、頂点のy座標 4p+5 の放物線ですね。
グラフはご自分で描けるでしょうね。

Q3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2=(x+2y-1)(3x+y-2)について

3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2を因数分解せよという問題で、xについて整理し、3x^2+(7y-5)x+(y-2)(2y-1)という方針で解いていくやり方と、
yについて整理し、2y^2+(7x-5)y+(x-1)(3x-2)という方針で解いていくとき方の2通りありますが、どちらで解く習慣を身につけておいた方がよろしいでしょうか?

Aベストアンサー

xやyのどちらの文字で整理するかで決めるのでなく、
次数の低い方、
その文字の現れる項数が少ない方
両方とも同じなら最高次の係数が小さい方
の文字に着目して整理して解くのが基本かと思います。

例題の場合はx,yについて共に2次、項数も共に3項で同じ、最高次の係数も3と2で素数の小さな数ですから、あまり差はありません。後は好みだけの問題でしょう。同じならxと決めて置いても

他の方法としてxとyの両方に着目し2次の項の因数分解
3x^2+7xy+2y^2=(x+2y)(3x+y)
をしてから、一時項を含めた因数分解に進めます。
左辺=(x+2y+a)(3x+y+b)
定数項ab=2に着目してa,bの候補を絞れば良いですね。

Q放物線y=x^2+2ax+aがx軸と異なる2点で交わるように、aの値が変化するとき、この放物線の頂点Pの軌跡を求めよ

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

★放物線y=x^2+2ax+aがx軸と異なる2点で交わるように、aの値が変化するとき、この放物線の頂点Pの軌跡を求めよ
(指針)P(x,y)とすると、x,yはaで表わされる。aを消去して、x,yの関係式を導く。

指針・解答を見て解きましたが、途中から分からなくなってしまいました…
分かりやすく説明して頂けると嬉しいです^^
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。
与えられた2次関数の式から頂点の座標を求めるところまではいいと思います。
「x軸と異なる2点で交わるように、aの値が変化する」という条件を考えましょう。
これはaがとりうる値の範囲を与えることになります。

通常ならば「判別式」といきたいところですが、
グラフを考えると下に凸になるので頂点がx軸よりも下にあればよいことに気づきます。
この判別式と頂点のy座標の関係は同じことをしめしています。
すなわち「同値」ということです。

頂点のx座標とy座標をそれぞれX,Yとでもおいて、aで表します。
比較的簡単な変形でaを消去できます。
最後に、aの値には範囲がついているので、それをXの値の範囲になるよう置き換えます。

Q数学III「2つの放物線y=x^2とx=2y^2ーyによって囲まれる部分の面積Sを求めよ」

数学III「2つの放物線y=x^2とx=2y^2ーyによって囲まれる部分の面積Sを求めよ」という積分の問題の解き方がわかりません。教えてください。略解は1/2でした。

Aベストアンサー

囲まれる部分のグラフを描いて見ましたか?

そうすれば、積分をy軸方向に行えば一回の積分でSが求まります。
S=∫[0,1] (√y-(2(y^2)-y))dy
=1/2
途中の積分は簡単ですからやってみて下さい。

なお、x軸方向に積分を行おうとすると面積を3つに分けて3回積分して加えて引くといった事をしないといけません。
或いはy=xの直線で面積領域を2つに分割してx方向とy方向の積分の和としてSを求める方法もあります。
最初の積分なら一回の積分だけでSが求まります。

Q単位長さあたりから単位面積あたりの換算

単位の換算方法について教えて下さい。
例えば、単位長さあたり(165kg/m)の荷重を単位面積あたりの荷重
に換算する場合どのようにしたらよいのでしょうか?
負担面積は、15m x 1.5mと仮定した場合で教えて頂けると助かります。

Aベストアンサー

単位長さあたり(165kg/m)の荷重が15mx1.5mの板に加わっていたという話ですね。

この「単位長さ」がどっちの長さを指すのかで、面積あたりの荷重は違います。15mのほうを長さ方向とすれば(普通、長手方向を取るのでこっちだと思いますが)、1m×1.5mの面積に165 kg かかっていることになるので、単位面積あたりの荷重は 165/1.5 [kg/m^2] になります。165 の単位はもともと [kg/m]ですから、これを長さの単位で割ると[kg/m^2] になって、ちゃんと面積あたりの荷重の単位になります。

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Q「受圧面積」の英語は?

どなたか教えてください。

形状率(S)=受圧面積(AL)/自由面積(AF)

という関係式を英訳する場合、「受圧面積」に相当する英語は何でしょうか?

「形状率」はShape Factor、
「自由面積」はFree Areaかそのあたりだと推測しているのですが、
「受圧面積」がどうしても分からなくて困っています。

技術用語や建築用語に強い方から教えていただけると幸いです。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

AL=「area of load」 ではないでしょうか?

load = 負荷

受圧面積そのものなら「pressure receiving area」で使われていますね。

Qaがすべての実数値をとって変化するとき、放物線y=x^2+ax+a^2が通らない領域を図示せよ

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

★aがすべての実数値をとって変化するとき、放物線y=x^2+ax+a^2が通らない領域を図示せよ

この問題について解き方のヒント等お願いします。

Aベストアンサー

aについて2次方程式と見なしてaの実数条件
D≧0をみたす(x,y)の範囲が
放物線の通過領域なので、
それ以外の領域が放物線が通らない領域となります。


人気Q&Aランキング