2つの放物線C1:y=x^2-(a+1)x+a とC2:y=x^2-(a-1)x-a がある。ただし-1<a<1。
(1)C1とC2の両方に接する直線lの方程式を求めよ。
(2)C1とC2およびlによって囲まれた図形の面積を求めよ


(1)はC1上の点(t、t^2-(a+1)t+a)における接線をあらわして、それがC2に接しているから、それとC2を=でつないで、判別式=0をりようしたところ、
l:y=ax-a^2-1/4となりました。
計算が不安です。
解答のプロセスとしてはこれでいいのでしょうか?
ほかにもやり方があれば教えていただきたいです。

(2)がよくわからないのですが、C1とC2の交点のx座標、C1とlの交点のx座標、C2とlの交点のx座標を出さなければならないのでしょうか?

面倒だとは思いますが、回答いただけると幸いです。
宜しくお願いいたします

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

(1)は他の方々が答えておられるので、(2)についてアドバイスをしておきます。



>C1とC2の交点のx座標、C1とlの交点のx座標、C2とlの交点のx座標を出さなければならないのでしょうか?
その方針でいいと思います。ただ、(1)で判別式=0となる様にしましたからC1-l,C2-lの式は因数分解できそうですね。
実際、x^2-(a+1)x+a-(ax-a^2-1/4),x^2-(a-1)x-a-(ax-a^2-1/4)を因数分解すると
(x-A)^2という形に因数分解できます。だから、x座標は簡単な形にまとまります。
積分もこのまま
∫(x-A)^2dx=1/3(x-A)^3+C
で計算すると後の計算も難しくないと思います。トライしてみて下さい。
    • good
    • 0

(1)の他のやり方ですが参考程度に



C1:y=x^2-(a+1)x+a
このC1の点(t、t^2-(a+1)t+a)における接線は
y'=2x-(a+1)なので
y1=(2t-a-1)(x-t)+t^2-(a+1)t+a
=(2t-a-1)x-t^2+aとなる。同様にして
C2:y=x^2-(a-1)x-a 
このC2の点(s、s^2-(a-1)s-a)における接線は
y2=(2s-a+1)x-s^2-aとなる

ここy1とy2が同じ直線であるとするならば、
(1)y1の傾き=y2の傾きと(2)y1の切片=y2の切片で連立方程式をたてて解き
t=a+1/2 ,s=a-1/2
と出るので、y1,y2どっちでもいいのでsまたはtを代入して
y=ax-a^2-1/4を得る
このやり方だと検算できるんですよ。s.tのどちらか余っている方を計算すると。

(2)は三点を出してa点で二つにわけてゴリゴリ積分計算するしかないのでは・・・。
    • good
    • 0

自信はないですが、


(1)の答え、あってそうです。
あえて、別解を書くなら、接線の方程式をy=px+qと置き、この直線とC1に関し、判別式D=0、同様にC2についてD=0として、連立方程式を解く方法。

(2)は積分が必要そうなので、各x座標を求める必要がありそうです。
面倒なので求めてません、ごめんなさい。

どこで、aの範囲が効いてくるのかが疑問のままですが...

この回答への補足

回答ありがとうございます。

>どこで、aの範囲が効いてくるのかが疑問のままですが...

私もよくわかりません。なぜaの範囲が必要なのでしょうか??

補足日時:2005/04/04 09:32
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q放物線と直線に囲まれる部分の面積

放物線y=x^2と直線y=0に囲まれる部分の面積Sは、0<aとして
lim(n →∞)Sn=lim(n →∞)1/n{(a/n)^2+(2a/n)^2+(3a/n)^2+…+(na/n)^2}a/n
になるそうです。
{ }内は各長方形の縦の辺の合計、a/nは長方形の横の辺ということは理解できます。
ですが { 前の1/nがなぜ必要なのか分かりません。
初心者ですので分かりやすい説明をお願いいたします。

Aベストアンサー

1/nは不要です。ミスプリでしょう。
x=0~aをn等分してi番目の短冊の面積dSを考えると
dS=[(a/n)i]^2・(a/n)
これをi=1~nまで足すと放物線、y軸、x=aで囲まれた部分の面積Sは
S=Σ(i=1~n)[(a/n)i]^2・(a/n)=(a/n)^3Σ(i=1~n)i^2
=(a/n)^3)[n(n+1)(2n+1)/6]
n→∞で
S=a^3/3
これはx^2のx=0~aの積分と一致します。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q放物線とそれに接する2つの接線に囲まれた面積

放物線とそれに接する2つの接線に囲まれた面積は
2つの接点を結んだ直線と放物線で囲まれた面積の
ちょうど1/2になりますよね?

Aベストアンサー

放物線をy=ax^2 (a>0)
よってy'=2ax
接点をα、βとおく。(α<β)
接線の方程式は
y=2aαx-aα^2・・・(1)
y=2aβx-aβ^2・・・(2)
(1),(2)を連立してyを消去し、xについて整理すると、
x=(α+β)/2

放物線とそれに接する2つの接線に囲まれた面積をSとおくと
S=∫(α~(α+β)/2){ax^2-(2aαx-aα^2)}dx+∫((α+β)/2~β){ax^2-(2aβx-aβ^2)}dx

=[(a/3)x^3-aαx^2+aα^2x](α~(α+β)/2)+[(a/3)x^3-aβx^2+aβ^2x]((α+β)/2~β)

={a(α+β)^3/24-aα(α+β)^2/4+aα^2(α+β)/2-aα^3/3+aα^3-aα^3}
+{aβ^3/3-aβ^3+aβ^3-a(α+β)^3/24+aβ(α+β)^2/4-aβ^2(α+β)/2}

=-a(β-α)(α+β)^2/4+a(β-α)(α^2+αβ+β^2)/3

=a(β-α)^3/12

∴S=a(β-α)^3/12・・・(3)

2つの接点を結んだ直線と放物線で囲まれた面積をTとおくと
点(α,aα^2)と点(β,aβ^2)を結ぶ直線の方程式は
y=a(α+β)x-aαβ
よって
T=∫(α~β){a(α+β)x-aαβ-ax^2}dx

=[a(α+β)x^2/2-aαβx-ax^3/3](α~β)

={a(α+β)(β^2-α^2)/2-aαβ(β-α)-a(α^3-β^3)/3

=a(β-α){3(α+β)^2-6αβ+2(α^2+αβ+β^2)}/6

=a(β-α)^3/6

∴T=a(β-α)^3/6・・・(4)

(3)、(4)より、S=T/2

疲れた~。
強引にやりましたが、もっと簡単な方法もあるかもしれませんね。

なお、放物線をy=ax^2とおきましたが、放物線はすべて相似である事を考えれば、#3さんが書いている通り、y=x^2とおいてもOKですね。

放物線をy=ax^2 (a>0)
よってy'=2ax
接点をα、βとおく。(α<β)
接線の方程式は
y=2aαx-aα^2・・・(1)
y=2aβx-aβ^2・・・(2)
(1),(2)を連立してyを消去し、xについて整理すると、
x=(α+β)/2

放物線とそれに接する2つの接線に囲まれた面積をSとおくと
S=∫(α~(α+β)/2){ax^2-(2aαx-aα^2)}dx+∫((α+β)/2~β){ax^2-(2aβx-aβ^2)}dx

=[(a/3)x^3-aαx^2+aα^2x](α~(α+β)/2)+[(a/3)x^3-aβx^2+aβ^2x]((α+β)/2~β)

={a(α+β)^3/24-aα(α+β)^2/4+aα^2(α+β)/2-aα^3/3+aα^3-aα^3}
+{aβ^3/3-aβ^3+aβ^3-a(α+β)^3/24...続きを読む

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

Q放物線と直線の問題です。

放物線と直線の問題です。
放物線 y=4x^2 ・・・(1) 上に点A(1/2,1)
放物線 y=1/2x^2 ・・・(2) 上に点B(2,2)がある。
直線ABの式 y=2/3x+2/3 ・・・(3)
三角形AOBの面積=三角形TOB-三角形TOA (原点O、直線ABとy軸の交点Tとして)で求めると3/6になりました。
つぎに点Pは(2)上の点で、原点Oと点Bとの間にあるものとする。三角形APBの面積が1/4のとき点Pのx座標を求めろという問題でした。

Aベストアンサー

△AO B=3/6=1/2と求められたなら、△APBの面積が
1/4になるには、ABを底辺とみたとき、△AO Bの高さの1/2
になればよいですね。
で、それはPがどこにあるときかというと、O Tの中点(0,1/3)を
通り直線ABに平行な直線が(2)の放物線と交わるところにあるとき
です。
(0,1/3)を通りABに平行な直線はy=(2/3)x+(1/3)なので、(2)との
交点はy=(1/2)x^2を代入して
(1/2)x^2=(2/3)x+(1/3)
移項して6をかければ
3x^2-4x-2=0
x=(4±2√10)/6=(2±√10)/3
xはOとBの間なのでx=(2+√10)/3 となります。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q放物線と接線で囲まれる面積の問題(難問)

下記の問題
「直線y=-x+1上の点Pから放物線y=-x²にひいた2本の接戦の接点を結ぶ直線と放物線で囲ま れる部分の面積Sが最小となるような点Pのx座標を求めよ」
がわかる方、教えてください。

Aベストアンサー

下のような計算になりませんか?各部分の細かい計算については割愛していますが、一度確認してみてください。

Qy=2/3・x^2とx^2+y^2=1の共有点の座標

x^2+y^2≦1 と y≦(2/3)x^2 の連立方程式の表す領域を図示する問題で、
x^2+y^2=1のグラフを描いた後、y=(2/3)x^2のグラフを描くのに共有点の座標を求めるのですが、

その参考書には
「y=x^2 と x^2+y^2=1 の連立方程式を解いて、(√3/2 , 1/2),(-√3/2 , 1/2)」とあります。そこでこれについて2つ質問があります。
(1) まず、y=x^2ではなくy=(2/3)x^2ではないのですか。
(2) y=(2/3)x^2があっているとして、それで計算してもx=(-9±√97)/8、
y=x^2が正しいとしても、x=(-1±√5)/2になってしまいます。

Aベストアンサー

y=(2/3)x^2より、x^2=(3/2)y
x^2+y^2=1に代入して、(3/2)y+y^2=1
整理して、2y^2+3y-2=0→(2y-1)(y+2)=0
y>0より、y=1/2。x^2=3/4→x=√3/2、-√3/2。
です。

Q放物線と図形の面積

放物線nは、y=1/4x2乗のグラフである。放物線nと直線mの交点をA,Bとする。Aのx座標が-8、Bのx座標が6である。

(1)放物線上の原点0から点Bの間に点Pを取り、三角形APBの面積が70になるようにする。このときの点Pの座標を求めよ。
という問題と

(2)傾き2で平行四辺形AOBQの面積を二等分するような直線の式を求めよ。
(点Qは四角形AOBQが平行四辺形になるようにとる)
という問題がわかりません。

(1)は、直線ABを底辺として考えるのでしょうか?三平方の定理を使ってABの長さを出しても、その先がわかりません。
(2)はまったく解りません

どなたか 助けてください  行き詰ってます!
よろしくお願いします

Aベストアンサー

(1)
A(-8,16)、B(6,9)なので、直線ABの式はy=(-1/2)x+12
です。
y軸の0から12の間に点Dをとって△ADBの面積を考えると
その面積が70になるのはDの座標が(0,2)のときとわかります。
(△ADBをy軸で切って、2つの三角形の面積の和で考える
といいです。左側が底辺×8÷2、右側が底辺×6÷2で、底辺は
10、よって、12から10下がったところ)
底辺に平行な線上を頂点が移動しても面積は変わらない(等積変形)
から、点Pは直線ABに平行で点(0,2)を通る直線と放物線の
交点で、x座標が正のものとわかります。
よって、y=(1/4)x^2とy=(-1/2)x+2の連立で、(1/4)x^2=(-1/2)x+2
から求められます。

(2)
直線が平行四辺形の面積を二等分するとき、その直線は対角線の
交点(あるいは、1つの対角線の中点)を通ります。
1つの対角線はABなので、この中点(x座標が全部で14だから
半分の7、y座標が全部で7だから半分の7/2を考え)の座標
(-1,25/2)を通る傾き2の直線を求めればよいことになります。

(1)
A(-8,16)、B(6,9)なので、直線ABの式はy=(-1/2)x+12
です。
y軸の0から12の間に点Dをとって△ADBの面積を考えると
その面積が70になるのはDの座標が(0,2)のときとわかります。
(△ADBをy軸で切って、2つの三角形の面積の和で考える
といいです。左側が底辺×8÷2、右側が底辺×6÷2で、底辺は
10、よって、12から10下がったところ)
底辺に平行な線上を頂点が移動しても面積は変わらない(等積変形)
から、点Pは直線ABに平行で点(0,2)を通る直線と放物線の
交点で、x座...続きを読む

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)


人気Q&Aランキング

おすすめ情報