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2Bの質問です。
写真の青線から青線が、なぜこの変形になるのか教えて頂きたいです。

「2Bの質問です。 写真の青線から青線が、」の質問画像

A 回答 (2件)

S = 2 + 2・2^2 + 2・2^3 + ... + 2・2^n と置くと、両辺 2 倍して


2S = 4    + 2・2^3 + ... + 2・2^n + 2・2^(n+1) が成り立つ。
下の式から上の式を引くと、中のほうの項がゴッソリ相殺されて
(2-1)S = (4-2) + 2・2^(n+1) - 2・2^2 が残る。整理すると
S = 2 + 2・2^(n+1) - 8 = 2・2^(n+1) - 6
 = 2( 2^(n+1) - 2 ) - 4
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等比数列の和。


初項:a、公比:r、項数nなら、数列和=a(rⁿ-1)/(r-1)

この数列に直接には当てはめられない。
第2項が公比2²で、第3項以降が公比2になってる。

なので、()の部分に当てはめる
2+(2・2²+・・・・・+2・2ⁿ) ①

()の数列は
初項:2・2²、公比:2、項数n-1だから
和=2・2²(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1)=2・2²(2ⁿ⁻¹-1)

変形すると=2(2ⁿ⁻¹・2²-2²)=2(2ⁿ⁺¹-4)

上の①で()の外の左に2があるから、それも足すから
2(2ⁿ⁺¹-4)+2=2・2ⁿ⁺¹-6=2(2ⁿ⁺¹-1)-4
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