代数多様体について勉強しているんですが。そのなかで

C[x,y]/(xy-1) (但しCは複素数体)

について考える問題があるんですけど

(xy-1)ってC[x,y]で極大イデアルでしょうか?

そうだとすると
C[x,y]/(xy-1) と C[t,1/t] は同型だから

C[t,1/t]は体ということになりますよね。
でも、0でない任意の元の逆元をC[t,1/t]の元のカタチにうまく変形することができません。
どうすれば、うまくいくでしょうか?

もしかしたら、(xy-1)ってC[x,y]で極大イデアルじゃないんでしょうか?
(xy-1)ってC[x,y]で分解できるんでしょうか?

簡単なことだとおもうのですが、だんだんわけがわからなくなってきてしまいました。どなたかお暇な方教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

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1t」に関するQ&A: 1th anniversary ってあり??

A 回答 (2件)

(x+1,y+1)を考えます。

(x+1)(y+1)-(x+1)-(y+1)=xy-1ですので、(x+1,y+1)⊃(xy-1)です。左の集合の方が大きいのは自明です。したがって極大イデアルではありません。

そもそも既約ならそれ以上分解はできないですが、それでも無理やり因数分解を考えたらどうなるか?というのが理想数の発見であり、イデアルの誕生でした。体上の1変数多項式環だともう少し状況はやさしいでしょうが、多変数多項式環の極大判定は難しいです。

なおC[t,1/t]は体ではない整域ですから、したがって(xy-1)は極大でない素イデアルであると結論することもできますが、bluemoon1120さんの疑問は(xy-1)がなぜ極大でないのか、ということだったので、こういう抽象的な方法だと納得しにくいかも知れませんね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。xy-1=0の零点って平面上で曲線をあらわしているんだから、一点をあらわすイデアルに含まれないといけないですよね。
変に考えすぎてわけが分からなくなっていました。これを使ってなんとか問題を解くことができました。
ありがとうございます

お礼日時:2005/04/10 13:52

C[t,1/t] は体ではないですね。

例えば1-tの逆元がa_(-n) t^(-n) + .... + a_(-1) t^(-1) + a_0 + a_1 t^1 + ... + a_m t^m で表わされたとするとa_0以外全部0でなければならず矛盾します。ちなみに形式的無限級数環C(t)={Σ_{n≧M} a_n t^n : M 整数}は体になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
やっぱり体じゃないですよね。
無理矢理逆元を変形しようとしても意味のないことだったんですね。
これをつかって問題を解くことができました。ありがとうございます。

お礼日時:2005/04/10 13:54

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Qイデアルに関する質問です。

次の問題を教えてください。

整数係数の多項式全体がなす可換環Z[x]のイデアルに関する以下の問いに答えよ。

・単項イデアル(4)は素イデアルと言えるかまた極大イデアルと言えるか理由とともに答えよ。

・単項イデアル(x+4)は  以下同文

Aベストアンサー

素イデアルと極大イデアルの定義さえ調べればすぐに答えが出る問題かと思います
・単項イデアル(4)は素イデアルと言えるかまた極大イデアルと言えるか
 整数環Zで(n)が素イデアルになるのはnが素数のときであることは良く知られています(つまり素イデアルとは素数を一般化したもの)
Z[x]はZを含むので、もちろん(4)は素イデアルではないと思います。また(4)はZにおいて極大イデアルではないのでZ[x]ではなおさら極大イデアルではないと思います。
・単項イデアル(x+4)は  以下同文
 (x+4)は既約か?と聞かれているだけです。Eisensteinの判定など用いなくても既約であることは明らかでしょう。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q素イデアルの冪と準素イデアル

R を実数体として、多項式環 R[x, y] のイデアルを考えます。

(x, y)^2 = (x^2, xy, y^2) = (x^2, y) ∩ (x, y^2)

上の関係では、素イデアルの冪が準素イデアルに等しくなっていますが、一般的には同じことがいえるのでしょうか。
有理整数環 Z と、体 k 上の多項式環 k[x], k[x, y] で調べてみたのですが、素イデアルの冪が準素イデアルにならない例を見つけられませんでした。

どうか、アドバイスをよろしくお願いします。

Aベストアンサー

RがUFDだとすると成り立ちます。
(証明)
RをUFD、pを素イデアル、xy∈p^n とします。
このとき、x∈R-pならば、xy∈pから、y∈p、したがってy^n∈p^nです。
つぎに、x∈p-p^nとします。
xyの素元分解に現れる素元をp_1,p_2,・・・p_mとします。
すると、あるp_iがあって、p_i∈pです。また、xyはp_iをnの倍数個、したがってn個以上因数にもちます。
一方、x∈p-p^nであることから、xはp_iをn個未満しか因数にもちません。
したがってyがp_iを因数にもつことになってy∈p、したがってy^n∈p^nです。
よってx∈R-p^nならばy^n∈p^nです。よってp^nが準素イデアルであることが示されました。

また、RがUFDでないときについては以下のような反例があります。
C[x,y,z]を複素数体上の3変数多項式環として、R=C[x,y,z]/(z^2-xy)とすると(x,z)は素イデアルですが、(x,z)^2は準素イデアルではありません。
なぜならば、xy=z^2∈(x,z)^2ですが、x∈R-(x,z)^2かつ任意の自然数nに対してy^n∈R-(x,z)^2だからです。

RがUFDだとすると成り立ちます。
(証明)
RをUFD、pを素イデアル、xy∈p^n とします。
このとき、x∈R-pならば、xy∈pから、y∈p、したがってy^n∈p^nです。
つぎに、x∈p-p^nとします。
xyの素元分解に現れる素元をp_1,p_2,・・・p_mとします。
すると、あるp_iがあって、p_i∈pです。また、xyはp_iをnの倍数個、したがってn個以上因数にもちます。
一方、x∈p-p^nであることから、xはp_iをn個未満しか因数にもちません。
したがってyがp_iを因数にもつことになってy∈p、したがってy^n∈p^nです。
よってx∈R-...続きを読む

Q可換環Sの素イデアル

可換環Sの素イデアル
P_1⊂P_2が共に可換環Sの素イデアルのときS’=S/P_1とすると

P’= P_2/P_1はS’の素イデアルというのは、成り立ちますか。否ですか。
成り立つなら証明を、成りたたないなら、例えばどのような条件を付ければ成り立つか。

Aベストアンサー

素イデアル列P_1⊂P_2について、P_2/P_1はS/P_1の素イデアルになります。このことは乗余環P_2/P_1の2つの要素の積が(a+P_1)(b+P_1)=(ab+P_1)と定義できることと、P_2が素イデアルであることを使えば、証明できます。難しくはないと思いますので、ご自分で証明して下さい。

QMathematica f[{x, y}]を f[{a, x, y}]に変えたい

関数の f[{x, y}]+g[{z, w}] という式があったときに,これらの式の f や g の中に入っているリスト(今の場合は,{x, y}や{z, w})の先頭に,a を付け加えて, f[{a, x, y}]+g[{a, z, w}] のようにしたいと考えています.
(すなわち,f[{x, y}]+g[{z, w}]を f[{a, x, y}]+g[{a, z, w}]に変えたり,また他の例としては,f[{x, y}]+g[{z, w}]+h[{c, d}]を f[{a, x, y}]+g[{a, z, w}]+h[{a, c, d}]に変えたりしたい.)

このとき,例えばPretendを使うと,
Prepend[f[3, 1], 2]
によって,f[2, 3, 1]が得られることなどは知っていますが,上記のようなものに対して,どのようにすればよいのかが,わかりません.

もしもご存じの方がおられれば,お教え頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

パターンマッチングを使うのがMathematica的です。

f[{x, y}] + g[{z, w}] /. {s_Symbol[{args__}] -> s[{a, args}]}

Qイデアルを使った証明

Rを環とし、I,JをRのイデアルとしたとき
『IとJの共通部分I∩Jもイデアルになる』

ということを証明したいのですが、どうしたらいいか分かりません。
イデアルの定義を応用してなんとかなるのかなど、
考えてみたのですが、分かりません。

どのように証明したらいいか教えてください。
お願いしますm(__)m

Aベストアンサー

>ということを証明したいのですが、どうしたらいいか分かりません。
イデアルの定義から明らか。

Qy,z∈V'(Vの線形写像全体の集合)[x,y]=0→[x,z]=0は∃α∋z=αyを意味する事を示せ。

おはようございます。

[Q] Prove the following statement:
Let y,z∈V'(set of all linear functionals on V) [x,y]=0→[x,z]=0 implies that ∃α∋z=αy.

という問題に悪戦苦闘しています。
linear functionalは線形汎写像(終集合がRやCの線形写像)の意味。

この問題はつまり、
"y(x)=0⇒z(x)=0"が成立するならば
線形写像z:V→R(or C) はαyという写像(zはyのスカラー倍になっているような線形写像)。
つまり、
V∋∀x→z(x):=α(y(x))という写像
である事を示せ。
という意味だと解釈しています(勘違いしておりましたらご指摘ください)。
その場合,どのように証明すればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

#1です。
>>V≠Ker(y)の時はα:=z(x_0)/y(x_0)と採れば
∀x∈Vに対し、
x∈Ker(y)ならz(x)=0且つy(x)=αz(x)=α・0 (∵仮定) =0となるのでy=zでOK。
x∈V\Ker(y)ならz(x)=(z(x_0)/y(x_0))y(x)=???=y(x)
何故か
z(x)=y(x)が言えません。

z=yではなくz=αyとしてるので問題は無いように思いますが。

Qイデアルの和集合

Rは単位元1をもつ可換環。A,B,CはRのイデアルとする。
(1)A∪BはRのイデアルか。
(2)A⊂C, B⊂Cとするとき、A∪BとCの包含関係を調べよ。

(1)はイデアルにならないと思いますが、特別な場合はイデアルになりますよね。
A=ゼロイデアルとか、B=Rでもイデアルですよね。
線形で、2つの部分空間X,YがあってX∪Yも部分空間になるとき、X⊆YかX⊇Yだと教わりました。
イデアルだと、A∪BがイデアルとA⊆BかA⊇Bは同値ですか。
A⊆BかA⊇Bは十分条件なのは明らかですが、必要条件かどうかがわかりません。
(2)は集合として考えればA∪B⊆Cだと思うのですが、イデアルなのでA∪B⊂Cかもしれないと思います。
Cの元の中にA∪Bの元でないものがあればいいのですが、なかなか思いつきません。
やはり真部分集合じゃなくて、部分集合までしか成り立たないのでしょうか。

Aベストアンサー

(2)の問題文に出てくる「⊂」は、
真部分集合ではなく、部分集合の意味
ではないかと思いますが…
高校までと、大学以降では、
「⊂」という記号の意味は、違うのが通常です。
旧文部省の記号遣いは、独特ですから。

とはいえ、質問どおり、
「⊂」を真部分集合の意味で考えてみましょう。

A∪B=C と仮定すると、
A∪B がイデアルになりますから、
(1)より、A⊇B または A⊆B です。
従って、A=A∪B=C または B=A∪B=C となります。
これは、A⊂C かつ B⊂C に反します。
よって、背理法により証明終了です。

QMathematica f[{x, y}]を f[{x+1, y}]に変えたい

関数の f[{x, y}]+g[{z, w}]-h[{a, b, c}] という式があったときに,これらの式の f や g や h の中に入っているリスト(今の場合は,{x, y}や{z, w}や{a, b,c})の先頭の要素に,+1をして, f[{x+1, y}]+g[{z+1, w}]-h[{a+1, b, c}] のようにしたいと考えています.
極力簡明な方法であれば有り難いと考えていますが,例えばどのような方法がありますでしょうか?お教え頂ければ大変有り難く存じます.

(追記)
以前大変親切な方に,「関数の f[{x, y}]+g[{z, w}] という式があったときに,これらの式の f や g の中に入っているリスト(今の場合は,{x, y}や{z, w})の先頭に,a を付け加えて, f[{a, x, y}]+g[{a, z, w}] のようにするには,f[{x, y}] + g[{z, w}] /. {s_Symbol[{args__}] -> s[{a, args}]}のように記述すれば良い旨を教えて頂きました.」
今回も上記の式の類似式をいろいろと作ってみましたが,なかなか上手くいきません.
例えば,f[{2, 3}] + g[{4, 1}] - h[{2, 2, 1}] /. {s_Symbol[{args__}] -> s[Prepend[{args}, 1]]}は上手くいきますが,PrependのところをDelete(と,1])にしてみると上手くいきません.

関数の f[{x, y}]+g[{z, w}]-h[{a, b, c}] という式があったときに,これらの式の f や g や h の中に入っているリスト(今の場合は,{x, y}や{z, w}や{a, b,c})の先頭の要素に,+1をして, f[{x+1, y}]+g[{z+1, w}]-h[{a+1, b, c}] のようにしたいと考えています.
極力簡明な方法であれば有り難いと考えていますが,例えばどのような方法がありますでしょうか?お教え頂ければ大変有り難く存じます.

(追記)
以前大変親切な方に,「関数の f[{x, y}]+g[{z, w}] という式があったときに,これらの式...続きを読む

Aベストアンサー

以下のようにすれば良いでしょう。

f[{x, y}] + g[{z, w}] - h[{a, b, c}] /. {s_Symbol[{a1_, a2___}] -> s[a1 + 1, a2]}


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