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学校で渡った数学のプリントの解答についてなのですが、蛍光ペンで引いた部分の意味がわからなくて困ってます。詳しく説明してくださる方いましたらお願いします!
問題 x>1を満たす実数xがx+x分の1=3を満たしている時の、x⁴-x⁴分の1の値は?

「学校で渡った数学のプリントの解答について」の質問画像

A 回答 (4件)

たぶんそれね、xという数の意味がわかってないところからくる


まよいじゃないかなぁ?
つまりx+1/x=3、x>1というのは
x²-3x+1=0かつx>1だからx=(3+√5)/2
つまりxは単なる未知数ではなくて(3+√5)/2という実数を
表しているんだね
そして以下の議論はこの(3+√5)/2についての議論なんだね。
それをそのまま生で使うと文面がきたなくなるからxを
そのまま代用してるわけ。
そこにx-1/x=√5ってなってるけど実際
(3+√5)/2とその逆数の差を直接計算すると√5になるよ。
とまあこういうことじゃぁないかなぁ?
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相反式といって、中学数学の目抜き通りですね。


某寿司屋のおじさんが大好きなやつです。
x + 1/x の値が判っているときに x^2 + 1/x^2 の値を求めたり
するやつが典型例ですが、今回は x^4 + 1/x^4 ではなく
x^4 - 1/x^4 の値を求めるというヒネリが入ってます。
このため、x - 1/x の値を求める必要があります。

x + 1/x は2乗すると中央の項が定数項になる...というのが
相反式のネタの出処ですから、これを応用して
(x - 1/x)^2 = x^2 - 2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 4 = 3^2 - 4 = 5.
ここから x - 1/x = ±√5 ですが、
x > 1 という条件が効いて、x - 1/x > 0 より x - 1/x = √5 です。
あとは、相反式の定型的な取扱い
x^4 - 1/x^4 = (x^2 + 1/x^2)(x^2 - 1/x^2)
     = { (x + 1/x)^2 - 2 }(x + 1/x)(x - 1/x)
     = { 3^2 - 2 }(3)(√5)
     = 21√5
ですね。
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x>1 ならば x>(1/x) ですから x-(1/x)>0 となり、


{x-(1/x)}²=5 は x-(1/x)=√5 になります。
つまり -√5 は 不適になり 除外されます。

x²+(1/x)² の計算は 下記の因数分解を利用しています。
a²+b²=(a+b)²-2ab 。
又、(a-b)²=a²-2ab+b²=(a+b)²-4ab 。
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(x-1/x)²=5 → x-1/x=±√5・・・・①



 x>1 (xで割って) → 1/x<1 (移項して) → 1-1/x>0
したがって、①から
 x-1/x=√5
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