3次の整式f(x)を(x^2-x+1)で割った余りは(x-3)、f(-1)=5のとき、f(x)を(x^3+1)で割った余りを求めたいのですが、

f(x)=(x^2-x+1)g(x)+x-3 ←g(x)は1次の整式
f(-1)=3g(-1)-4=5
よって g(-1)=3
f(x)=a(x^3+1)+h(x) ←g(x)は2次の整式
  =a(x+1)(x^2-x+1)+h(x)

となるところまでは解いてみたのですが、これからどうやって答えを導けばよいのか分かりません。
ここからどうすればよいのでしょうか? 
解き方の分かる方、教えて下さい。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

f(x)が3次の整式と分かっているのなら、a,bを任意の値として


 f(x) = (x^2-x+1)(ax+b)+(x-3)
となります。
これに、x=-1を代入すると、
 f(-1)= (3)×(-a+b)-4 = -3a+3b-4 = 5
となり、 -a+b=3 ; b=a+3 が導き出せます。
ここから、
 f(x) = (x^2-x+1)(ax+a+3)+(x-3)
= a(x^3) + 3(x^2) - 2(x) +a
となり、
 f(x)/(x^3+1) = a あまり 3(x^2)-2(x) となります。

これでいかがですか?
(あっているかまちがってるか今一自信無しですが、きれいな答えになったので書込みしてみました。)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
整式をa,bを使って表すという発想は私の頭の中にはありませんでした。
だから解けなかったのか~(納得)。
助かりました。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2005/04/04 15:31

直接次のように計算してみます:


g(x)=ax+b,b=a+3としてf(x)=(ax+b)(x^2-x+1)+x-3=
ax^3+3x^2-2x+aと簡単に表されx^3+1で割るとaがキャンセルされて余りは3x^2-2x。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど・・・この考え方だとズバっと答えがでますね。
助かりました。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2005/04/04 15:27

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