漸化式から数列を求める

数列｛ａn｝は、ａ1=5、ａn+1=３ａn＋２^（n+1）で定義されている。このときａnをｎの式で表しなさい。
また、Ｓｎ＝Σ（ｋ=１～n）ａｋをnを用いてあらわしなさい。

という問題に取り組んでいます。

この形はいままで解いたことがないのですが、「特性方程式」を使う方法で解けるのでしょうか？
どのように解けばいいのか教えてください。
宜しくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： postro 回答日時： 2005/04/04 15:15

ａ(n+1)=３ａn＋２^（n+1） の両辺を　２^（n+1）　で割ると

ａ(n+1)/2^(n+1)=(3/2)(ａn/2^n)+1 両辺に２を加えると
ａ(n+1)/2^(n+1) +2 =(3/2)(ａn/2^n +2)
ここで数列 bn=ａn/2^n +2 とすると、b1=a1/2 +2=9/2
これでbnは初項9/2公比3/2の等比数列とわかる。よって
ａn/2^n +2=bn=(9/2)(3/2)^(n-1)=3(3/2)^n
ａn/2^n=3(3/2)^n -2
ａn=3^(n+1) - 2^(n+1)
Ｓｎ＝Σ（ｋ=１～n）ａｋ=Σ（ｋ=１～n）{3^(k+1) - 2^(k+1)} は等比数列の和ですから、あとはOKですね。

No.2 回答者： pocariblue 回答日時： 2005/04/04 15:12

数列の問題を解く時のコツは、「こういうパターンだったら解けるのになぁ」という、愚痴めいた発想を持つことだと思っています。

例えば、今回の漸化式の場合、
(an+1)+f(n+1)=3{(an)+f(n)}・・・式Ａ
というパターンに式変形できれば都合が良いと思いませんか？
bn=an+f(n) と置き換えれば、式Ａは、bn+1=3(bn) という簡単な形になるので、とりあえず、数列anを求めることができますでしょう。
ですから、そういう風になるような関数f(n)を見つければ良いのです。

ヒントは、2^(n+1)=2(2^n)=(3-1)(2^n) です。
実際は、(3-1)(2^n) の(3-1)を別の数字にしないとダメです。

ヒントを頼りに、試行錯誤してみて下さい。

No.1 回答者： corp 回答日時： 2005/04/04 14:52

こんにちは。

数列がちょっと見にくいので、an→[A(n)]としておきます。
漸化式：[A(n+1)] = 3[A(n)] + 2^(n+1)に規則性を持たせる為、両辺を 2^(n+1)で割ります。

すると、[A(n+1)]/2^(n+1) = (3/2)[A(n)]/2^n + 1となります。
新しい数列{bn}を [B(n)] = [A(n)/2^n]として定義すると、漸化式が次のように置き換えられます。
[B(n)] = (3/2)[B(n)] + 1

ここまでくると、一般的な漸化式ですよね。
ここから数列{bn}を求めて、数列{an}を逆算してください。

多分これでいいはずですが。