数列{an}は、a1=5、an+1=3an+2^(n+1)で定義されている。このときanをnの式で表しなさい。
また、Sn=Σ(k=1~n)akをnを用いてあらわしなさい。

という問題に取り組んでいます。

この形はいままで解いたことがないのですが、「特性方程式」を使う方法で解けるのでしょうか?
どのように解けばいいのか教えてください。
宜しくお願いします。

A 回答 (3件)

a(n+1)=3an+2^(n+1) の両辺を 2^(n+1) で割ると


a(n+1)/2^(n+1)=(3/2)(an/2^n)+1 両辺に2を加えると
a(n+1)/2^(n+1) +2 =(3/2)(an/2^n +2)
ここで数列 bn=an/2^n +2 とすると、b1=a1/2 +2=9/2
これでbnは初項9/2公比3/2の等比数列とわかる。よって
an/2^n +2=bn=(9/2)(3/2)^(n-1)=3(3/2)^n
an/2^n=3(3/2)^n -2
an=3^(n+1) - 2^(n+1)
Sn=Σ(k=1~n)ak=Σ(k=1~n){3^(k+1) - 2^(k+1)} は等比数列の和ですから、あとはOKですね。
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数列の問題を解く時のコツは、「こういうパターンだったら解けるのになぁ」という、愚痴めいた発想を持つことだと思っています。


例えば、今回の漸化式の場合、
(an+1)+f(n+1)=3{(an)+f(n)}・・・式A
というパターンに式変形できれば都合が良いと思いませんか?
bn=an+f(n) と置き換えれば、式Aは、bn+1=3(bn) という簡単な形になるので、とりあえず、数列anを求めることができますでしょう。
ですから、そういう風になるような関数f(n)を見つければ良いのです。

ヒントは、2^(n+1)=2(2^n)=(3-1)(2^n) です。
実際は、(3-1)(2^n) の(3-1)を別の数字にしないとダメです。

ヒントを頼りに、試行錯誤してみて下さい。
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こんにちは。


数列がちょっと見にくいので、an→[A(n)]としておきます。
漸化式:[A(n+1)] = 3[A(n)] + 2^(n+1)に規則性を持たせる為、両辺を 2^(n+1)で割ります。

すると、[A(n+1)]/2^(n+1) = (3/2)[A(n)]/2^n + 1となります。
新しい数列{bn}を [B(n)] = [A(n)/2^n]として定義すると、漸化式が次のように置き換えられます。
[B(n)] = (3/2)[B(n)] + 1

ここまでくると、一般的な漸化式ですよね。
ここから数列{bn}を求めて、数列{an}を逆算してください。

多分これでいいはずですが。
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