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今、ある市の市民の平均年収が300万かどうかを標本数n=100の標本を抽出することで検定することを考えている。母分散は25であることは知られている。この検定に関する以下の問題に答えなさい データは正規分布に従うとする。

➀帰無仮説と対立仮説を示しなさい
②平均年収をX ̅、標本数をn、母分散をσ2 とした場合、検定に用いられる統計量はどうなるか。式で表しなさい。
③帰無仮説が正しいとき、②で示した統計量はどういう分布に従うか
④有意水準5%のとき、棄却域はどうなるか
⑤今標本抽出の結果、標本における平均年収X ̅は295になった。実際の統計量の値はいくらになるか
⑥帰無仮説は棄却されるか、採択されるか、結論づけなさい

A 回答 (5件)

ここも訂正が必要。

これも、標準偏差が25だと思っていたことによる間違い。(普通、年収の標準偏差が5万円だとは思わないっす。)

⑤実際の検定統計量
(295 - 300)/(√25 /√100)=-5/0.5=-10

とんでもなく有意だな。たった5万円の差なのに・・・。
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間違い訂正。

σ^2は母分散ですね。σ2なんて書いているから、下付きの添え字でてっきり標準偏差かと思いましたよ。

②検定統計量・・・母分散既知の平均値の差の検定
uo=(μo ー μ)/(σ/√n)
これを指定文字に替えると、
uo=(X_bar - μ)/(σ/√n) ・・・・ここを訂正しました。
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文句だけ言っているのも何だから、出題者が何を考えたか、を書きますね。



①検定仮説
H0:μo=μ(μ=300)・・・添え字はoオー、observation
H1:μo≠μ

②検定統計量・・・母分散既知の平均値の差の検定
uo=(μo ー μ)/(σ/√n)
これを指定文字に替えると、
uo=(X_bar - μ)/(σ2/√n)

何をやっているかというと、今回得られたサンプルは、μ=300の母集団から得られたサンプルかどうかを調べるべく、平均値の差を見ています。

③検定統計量が従う分布
母分散既知だから正規分布:uo ~ N(0,1^2)

④棄却域
±1.96 の外側(両側検定)

⑤実際の検定統計量
(295 - 300)/(25 /√100)=-5/2.5=-2

⑥検定結果
帰無仮説は棄却される。
「平均年収は300万円だとは言えない」

レポートはこう書いても良いけど、もし棄却されなかったとき「平均年収は300万円だ」と結論付けるのは間違い、と覚えておいて下さいね。
棄却されなかったときは「平均年収は300万円でないとは言えない」が正しい結論になります。
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出題者に対し、もう一言、苦情を言わせて下さい。



標本数は100も用いるべきではありません。
σμ=σ/√n なので、標本数が多いと「些細な差でも有意」という現象が起きます。

この場合は「効果量併記」が求められます。
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平均年収が300万円を下回るか、とか上回るか、という検定はできるけど、300万かどうか、は「同等性の検定」という方法が必要です。



今の設問の設定では、「300万円かどうか」という検定はできません。

本問のような通常の検定で、帰無仮説が棄却されない時の結論は、「差があるとは言えない」というだけで、「差が無かった=300万円だった」という肯定的な結論は出せません。

それは、第二種の過誤について、全く検討していないからです。

統計を学んだことが無い教師が統計を教えると、こういう弊害が出てくるという、良い見本です。
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