f(z) = 1/z(z+2i) を z = -2i でローラン展開する。

特異点 z = 0 は |z+2i| = 2 の円周上にある。よって |z+2i| = 2 を境界として場合分けする。
ⅰ) |z+2i| < 2 の場合
　0 < |z+2i|/2 = |(z+2i)/2i| < 1 だから ((z+2i)/2i)^n の級数展開を考えればいいので
　　1/z(z+2i)
をなんとかして
　　1+((z+2i)/2i)^n
を含むように変形したいのですが、なかなかうまくいきません。こんなときはどうしたらいいのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/23 09:41

＞ これは間違いですか？

ああ、いや。 これは、私のほうが間違い。
ローラン展開は、収束円環のドーナツの穴部分に複数の特異点があってもいいから、
収束円環が異なれば係数も異なるだけだった。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
> ここ最近ローラン展開について
> 同じような質問を頻繁に繰り返している某質問者の

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13100196.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13092428.html

ですよね（笑）。大いに参考にしていますwwwwwwwww

お礼日時：2022/08/23 10:10

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/23 08:54

1/z = 1/{ (z + 2i) - 2i } = { -1/(2i) }/{ 1 - (z + 2i)/(2i) }

= { i/2 }/{ 1 - (z + 2i)/(2i) } = Σ[n=0→∞] (i/2) { (z + 2i)/(2i) }^n
より
1/{ z(z + 2i) } = Σ[n=0→∞] (i/2) { (z + 2i)/(2i) }^n / (z + 2i)
= Σ[n=0→∞] (1/4) { (z + 2i)/(2i) }^(n-1)
= Σ[n=0→∞] { -1/(2i)^(n+1) } (z + 2i)^(n-1)
= Σ[k=-1→∞] { -1/(2i)^(k+2) } (z + 2i)^k.
等比級数に帰着したいなら、
1 + (z + 2i)/(2i) というより 1 - (z + 2i)/(2i) を見つけなくちゃね。

ところで、
＞ |z+2i| = 2 を境界として場合分けする。
というのは、ここ最近ローラン展開について
同じような質問を頻繁に繰り返している某質問者の
独特の勘違いだったけれど、
あなたは、それに影響されているのかな？
| z + 2i | > 2 の場合は、単に
1/{ z(z + 2i) } の z = -2i を中心とするローラン展開は
収束しないだけなんだけど。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

> 1/{ z(z + 2i) } の z = -2i を中心とするローラン展開は
> 収束しないだけなんだけど。

ζ= z+2i
f(z) = g(ζ)

と置き換えて回答している例を見つけました。
http://imepic.jp/20220823/335490/HIvN
これは間違いですか？

お礼日時：2022/08/23 09:20