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res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式は
res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z) のnをkにしただけですが、なぜローラン展開のnを極の位を表すkにしても正しいa(n)の式が求まるのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 質問が3つあります。

    質問1
    例えば、
    f(z)=1/(z-1)^2の場合はkは2であるため、
    z=1で極を持つため、
    a(n)
    res(f(z),a)
    =res(1/(z-1)^2),1)
    =1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
    =1/(2-1)! lim[z->1](d/dz)^(2-1)(z-1)^1 1/(z-1)^2
    ={lim[z->1](d/dz)^(n+1)}/{(z-1)}
    となるのでしょうか?

      補足日時:2022/08/24 06:42
  • 質問2
    f(z)=1/(z^2-1)の場合はkが1なので、かつ
    場合わけでz=1or-1があるので、
    z=1の時、
    a(n)
    =res(1/(z^2-1),1)...
    1/(1-1)! lim[z->1](d/dz)^(1-1)(z-1) 1/(z^2-1)
    = lim[z->1]1/(z+1)
    と以前求めた様になりませんが、
    なぜ指数はnの入っていないただの数値の1(=k)なのに正しい式が導けないのでしょうか?

    質問3
    今更で申し訳ないのですが、f(z)=tan(z)に関して、
    なぜz=π/2で極を持つ際にres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)のzではなくaにπ/2を代入するのでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2022/08/24 06:42
  • すいません。
    質問4に対する回答の
    「マクローリン展開は中心0のテイラー展開
    f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)z^n
    =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…」
    に関しては、
    テイラー展開の場合はどんな変数の展開になるのでしょうか?

    また、頂いたマクローリン展開の式は画像(テイラー展開の公式)とは形が異なりますが、どうやって画像の式からf(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)z^nを導いたのでしょうか?

    「res(f(z),a)=1/(k-1)!」の補足画像3
      補足日時:2022/08/24 16:11
  • 質問10
    右の画像において、
    赤い下線部は間違いだと思いますが、
    なぜf(z)=1/(z^2-1)の場合はkが1なのにf(z)=tan(z)の時と同じk=1なのに、なぜres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式が使えないのでしょうか?

    質問11
    右の画像において、
    画像の青い下線部の理解で正しいでしょうか?



    質問12
    質問3の
    「今更で申し訳ないのですが...
    ...aにπ/2を代入するのでしょうか?」
    に関しては
    z=π/2に関してはローラン展開を導く上で画像のようになるため、aにπ/2が入るとわかりました。(質問12は厳密には質問ではないが、念のため。)

    「res(f(z),a)=1/(k-1)!」の補足画像4
      補足日時:2022/08/24 20:22
  • 質問13
    なるほど、

    地道にマクローリン展開を求めることができるが、

    マクローリン展開の公式はローランf(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)z^(n-a)を軸に0(原点)の周りで展開して、
    なおかつnが正の範囲での近似式なので、

    Σ_{n=-∞~∞}をΣ_{n=0~∞}として、a(n)z^(n-a)のaをを0して、

    f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)z^nと以上のようにローラン展開からマクローリン展開の公式を導く方法もあるとわかりました。

    しかし、なぜ正の範囲なのにΣ_{n=1~∞}ではなく、Σ_{n=0~∞}なのででしょうか?

    また、テーラー展開の場合は
    f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)z^(n-a)だとわかりました。

      補足日時:2022/08/25 03:29
  • 質問14
    画像のRとrがありますが、Rは何を表し、rは何を表すのでしょうか?

    「res(f(z),a)=1/(k-1)!」の補足画像6
      補足日時:2022/08/25 18:25
  • 「質問4に対する回答の
    「マクローリン展開は中心0のテイラー展開
    f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)z^n
    =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…」
    に関しては、
    テイラー展開の場合はどんな変数の展開になるのでしょうか?」
    に対して

    「中心z=0のテイラー展開

    マクローリン展開

    同じ
    f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)z^n
    =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…
    です」

    と言われましたが、中心z=0のテイラー展開ではなく、ただのテイラー展開の場合でどんな変数の展開になるのか知りたかったのですが、テイラー展開もマクローリン展開もローラン展開の正の範囲での展開と同じ式ですが、中心z=0のテイラー展開ではなく、ただのテイラー展開の場合はどんなf(z)の式になるのでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2022/08/26 21:28

A 回答 (38件中1~10件)

留数


https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0

書いてある通り

留数Resの定義から
Res(f(z),a)={1/(2πi)}∫_{|z-a|=r}f(z)dz
となるのです
定義の理由は
右辺の文字数より左辺の文字数が少なくてすむから
そのように定義したのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2022/08/27 19:45

質問11


f(z)=1/(z-1)^2
0<|z-1|
でのローラン展開
f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-1)^n
はz=1で2位の極をもつから
n≦-3の時a(n)=0
f(z)=Σ_{n=-2~∞}a(n)(z-1)^n
↓両辺に(z-1)^2をかけると
f(z)(z-1)^2=Σ_{n=-2~∞}a(n)(z-1)^(n+2)
↓両辺を(n+2)回微分すると
(d/dz)^(n+2){f(z)(z-1)^2}=(n+2)!a(n)+…
↓z→1とすると
lim(z→1)(d/dz)^(n+2){f(z)(z-1)^2}=(n+2)!a(n)
↓両辺を(n+2)!で割ると
{1/(n+2)!}lim(z→1)(d/dz)^(n+2){f(z)(z-1)^2}=a(n)

a(n)={1/(n+2)!}lim(z→1)(d/dz)^(n+2){f(z)(z-1)^2}
↓f(z)=1/(z-1)^2だから
a(n)={1/(n+2)!}lim(z→1)(d/dz)^(n+2)(1)

n≠-2の時a(n)=0
n=-2の時
a(-2)=1

0<r
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
g(z)=1/(z-1)^(n+3)
はz=1でn+3位の極を持つから
k=n+3
a(n)
=Res(g(z),1)
={1/(k-1)!} lim[z→1](d/dz)^(k-1)g(z)(z-1)^k
={1/(n+3-1)!}lim[z→1](d/dz)^(n+3-1)(z-1)^(n+3)/(z-1)^(n+3)
={1/(n+2)!}lim(z→1)(d/dz)^(n+2)(1)
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n=-1の時に


f(z)=Σ_{n=-1~∞}a(-1)/(z-1)
にはなりません

f(z)
=
Σ_{n=-1~∞}a(n)(z-1)^n=a(-1)/(z-1)+a(0)+a(1)(z-1)+a(2)(z-1)^2+…

左辺は右辺の意味なのだから
右辺にはnは存在しません
だから左辺も両辺ともにnには関係ありません
n=-1の時になどとはできません
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留数


https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0

書いてある通り

留数Resの定義から
Res(f(z),a)={1/(2πi)}∫_{|z-a|=r}f(z)dz
となるのです
だから

f(z)

f(z)/(z-a)^(n+1)
に置き換えると

Res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)={1/(2πi)}∫_{|z-a|=r}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
となるのです

係数などの(1/2πi)∮は赤い四角に含まれない
理由はそれが留数Resの定義だから
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、確かにサイトにそのように定義されている事は確認出来ました。
出来れば、なぜ、その様に定義できたのかの原理を教えて頂けないでしょうか?


また、質問11に対して2022.8.25 19:40に頂いた解答の「質問者さんからのお礼」で私なりの解釈を書きましたが、

2022.8.25 19:30では
「1/(n+2)! lim(z→1)(d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)

n=-2

入れると
1/(-2+2)! lim(z→1)(d/dz)^(-2+2)(z-1)^(-2+1)
=1/0! lim(z→1)(d/dz)^(0)(z-1)^(-1)
=lim(z→1)1/(z-1)
=∞
に発散するので

1/(n+2)! lim(z→1)(d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)

間違いです」
と書き、

2022.8.25 19:57に頂いた解答では
「f(z)=1/(z-1)^2

n≠-2の時a(n)=0
n=-2の時
a(-2)=1
は正しいけれども

1/(n+2)! lim(z→1)(d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)

間違いです」と頂きました。
では、a(n)=1/(n+2)! lim(z→1)(d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)が間違いと言うなら、どんなa(n)の式にn=-2を代入して1を導いたのか教えて下さい。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/08/27 15:53

留数resの定義から


res(f(z),a)={1/(2πi)}∫_{|z-a|=r}f(z)dz
となるのです

図から
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-a|=r}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
となるのです
「res(f(z),a)=1/(k-1)!」の回答画像35
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

こちらに頂いた質問10の延長線上的のような質問に関して、
あの、頂いた画像について、
なぜ画像の上の方の赤い四角で囲われた式だけが、そのままRes(○,a)の○に入るのですか?

要は、なぜ係数などの(1/2πi)∮は赤い四角に含まれないのでしょうか?



また、2022.8.25 20:18に頂いた解答においては
a(-1)について、res(f(z),a)={1/(k-1)!}lim[z→a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k f(z)の式内にはnが存在しないが、式内にあるf(z)はf(z)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z-1)^nであり、n=-1の時にf(z)=Σ_{n=-1~∞}a(-1)/(z-1)となり、f(z)はz=aでz=π/2の時に極を持つため、



質問11に対して2022.8.25 19:40に頂いた解答の「質問者さんからのお礼」で私なりの解釈を書きましたが、

2022.8.25 19:30と
2022.8.25 19:57で解答を頂きましたが
a(n)=1/(n+2)! lim(z→1)(d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)が間違いと言うなら、どんなa(n)の式にn=-2を代入して1を導いたのか教えて下さい。


最後に、急にド忘れしたのですが、
ii) |z-1|>2で場合分母が0になる特異点は
n≧-1の時z=1,z=-1との事でしたが、z=-1は特異点になるのはわかるのですが、z=1はz→1として、|1.01-1|>2と矛盾します。それなのに、なぜz→1も特異点に入るのか教えて頂けないでしょうか?

申し訳ありません。

お礼日時:2022/08/27 14:12

私の回答



f(z)がz=aでk位の極を持つという条件である時であるため、
f(x)=tan(z),a=π/2として

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1

を補足すると

f(z)がz=aでk位の極を持つという条件である時であるため、
f(x)=tan(z),a=π/2として

a(-1)
=res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1

だから
a(-1)だけしか求められない
です
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この回答へのお礼

おはよう御座います。

ありがとうございます。
理解力無くてほんとに申し訳ありません。
なぜn=-1〜∞まであるのにn=-1しか代入出来ないのか、もう少し詳しく教えて頂けないでしょうか?


ちなみに、質問11に関しは
2022.8.25 21:39にmtrajcp様から頂いたお礼に書いた内容で正しいでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/08/27 06:23

a(n)


=res(tan(z),a)

間違いです

もし
a(n)=res(tan(z),a)
だと仮定すると
a(n)
=res(tan(z),a)
=-1

a(n)=-1

となって
nがどんな値でも a(n)=-1 となって 間違い
実際には
nが変化すればa(n)は変化するはずだから間違いです

私の回答は

f(z)がz=aでk位の極を持つという条件である時であるため、
f(x)=tan(z),a=π/2として

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1
です

改ざんしないでください
勝手にa(n)=を挿入しないでください
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この回答へのお礼

すいませんでした。
要は
「a(n)
=res(tan(z),a)」
が間違いであり、

以下の様であれば正しいのですね。
「f(x)=tan(z),a=π/2として

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1」

お礼日時:2022/08/26 21:28

a(n)


=res(tan(z),a)

間違いです

もし
a(n)=res(tan(z),a)
だと仮定すると
a(n)
=res(tan(z),a)
=-1

a(n)=-1

となって
nがどんな値でも a(n)=-1 となって 間違い
実際には
nが変化すればa(n)は変化するはずだから間違いです
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この回答へのお礼

補足で申し訳ありません。
f(z)=tan(z)はz=π/2の時に1位の極を持つため、
Res(f(z),c)=lim_{z→c}(z-c)f(z)が使えると思うのですが、
Res(tan(z), π/2)
=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
と導けたのでしが、正しいでしょうか?

それとも、Res(f(z),c)=lim_{z→c}(z-c)f(z)の式はRes(f(z),c)=lim_{z→c}(z-c)f(z)のf(z)をg(z)とした上で成り立つのでしょうか?


ただ、
以前
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
n≦-2の時

kが1の時はRes(g(z),c)=lim{z→c}(z-c)g(z)を使って
 
Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)

a(n)=1/(-2)^(n+2)
としていたため、g(z)にしてからでないと正しいa(n)が導けないのではないかと考えています。

だとしたら、なぜg(z)にしないと成り立たないのか教えて下さい。

まぁ、個人的にはa(n)=Res(f(z),a)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dzと導けたからと言われればそれまでですが、

また、本当に申し訳のですが、
Res(f(z),a)から{1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dzと導くまでの証明を教えて頂けないでしょうか?

お礼日時:2022/08/27 02:49

a(n)≠res(f(z),a)


a(n)=res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)
としなければならない理由は図の通り
「res(f(z),a)=1/(k-1)!」の回答画像31
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f(z)=tan(z)の時もa=kでないし


res(f(z),a)でないし
res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
で正しく計算できていません

f(z)=tan(z)の時も
f(z)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z-π/2)^n
a(n)=res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
g(z)=f(z)/(z-π/2)^(n+1)
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
k=n+2
res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z→a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kg(z)
res(g(z),π/2)=1/(n+2-1)! lim[z→π/2](d/dz)^(n+2-1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
res(g(z),π/2)=1/(n+1)! lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
です
だけれども
res(f(z),a)を使うのは間違いだし
res(g(z),π/2)も使ってはいません
res(g(z),π/2)からa(n)を求めているわけではありません
実際には以下のようにa(n)を求めています

f(z)=tan(z)
は展開の中心π/2で1位の極を持つから
0<|z-π/2|<πでローラン展開
f(z)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z-π/2)^n
n≦-2の時a(n)=0
tan(z)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z-π/2)^n
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+a(3)(z-π/2)^4+a(4)(z-π/2)^5+…
↓両辺を微分すると(1回目)
{(z-π/2)tan(z)}'=a(0)+2a(1)(z-π/2)+3a(2)(z-π/2)^2+4a(3)(z-π/2)^3+5a(4)(z-π/2)^4+…
↓両辺を微分すると(2回目)
{(z-π/2)tan(z)}"=2a(1)+3!a(2)(z-π/2)+(4!/2)a(3)(z-π/2)^2+(5!/3!)a(4)(z-π/2)^3+…
↓両辺を微分すると(3回目)
{(z-π/2)tan(z)}"'=3!a(2)+4!a(3)(z-π/2)+(5!/2)a(4)(z-π/2)^2+…
↓両辺を微分すると(4回目)
{(z-π/2)tan(z)}""=4!a(3)+5!a(4)(z-π/2)+…


↓両辺を微分すると((n+1)回目(n≧-1))
(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+(n+2)!a(n+1)(z-π/2)+{(n+3)!/2}a(n+2)(z-π/2)^2+…
↓z→π/2とすると
lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=a(n)

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

こちらの解答では
「f(z)=tan(z)の時もa=kでないし
res(f(z),a)でないし
res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
で正しく計算できていません」

ですが、

以前に、mtrajcp様から20222.8.24 09:37に頂いた

f(z)がz=aでk位の極を持つという条件である時であるため、
f(x)=tan(z),a=π/2として

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)が使うことができて、

a(n)
=res(tan(z),a)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1

と正しい計算が導きました。

ならば、
以前にmtrajcp様が20222.8.24 09:37に頂に書かれた
「f(z)がz=aでk位の極を持つという条件である時であるため、
f(x)=tan(z),a=π/2として

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1
です」
と正しい計算が出来たのはたまたまだったわけですか?


前は条件を満たせばその計算は正しい。
今は条件を満たしてるのにその計算は間違いだ。などと右往左往していて、
f(z)がz=aでk位の極を持つという条件の時だけres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)が使うことが出来るのはわかりますが、

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/08/26 19:12
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