コンピュータの性能評価に使われている、ふしがないでもない円周率ですが
本当に割り切れないのですか?

そう質問すると愚問になりますので、計算の元になる円周と直径の長さは
本当に正しい数値なのでしょうか?

なぜ、こんな質問をするかと言えば、円周率は割り切れないと言う潜入感から
円周と直径を最新の技術で計測した数値が使われているのかと言う疑問を感じた
からです。又、工業技術で真円の円柱を作るのは高度な技術がいると聞きました。

例えば、直径1に対する円周の長さは計測する精度は小数点以下何桁までの精度
を持った数値で計算してか疑問に感じた訳です。そのあたりをご存じ方がいまし
たら教えて下さい。

最新技術で計測し直してら、割り切れて仕舞うと言うことは無いですよ~ね♪

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A 回答 (8件)

>そう質問すると愚問になりますので、計算の元になる円周と直径の長さは


>本当に正しい数値なのでしょうか?

現在の円周率の計算は、三角関数を用いた純粋な計算により行っています。
実際に円の直径と円周を測定してそれを割って・・・とはやっていません。
本来の科学の立場から言えば、「実証」が必要ですが、この問題は理論的に解決されてしまっているためです。

ということで、「最新技術で計測し直したら、・・・・」は行っていないのです。

参考URL:http://moon.ap.kyushu-u.ac.jp/~math/history/pai/
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この回答へのお礼

早速ありがとうございます。
教えて頂いたHPはこの質問をする前に目を通しました。
やっぱり、数学者は数学的証明されたもの疑わないのですかね?

愚かかも知れないけど、直径1kmの円周を1千分の1mm程度の精度は
簡単に計測出来そうに思うのですが?

お礼日時:2001/09/06 23:40

>割り切れない数値だから、どんな精度の計測をしても無駄と


>言うことなのかなと考えてします。

この部分にのみ反応しますが、
「割り切れない」から「計測しても無駄」ではないですね。

「どんなに精密に計測しても
”正確”に計測することができない」から「計測した値は使わない」
ではないでしょうか?

「数学」はいろんな場面で「手段」として用いられていますが
円周率の場合は、
「計測で正確な数値が得られないものを得る為の手段」
として用いられている、といったところでしょうか?
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この回答へのお礼

多くの回答を頂きありがとうございました。
私の素朴な疑問の割り切れないのかと言う答えは割り切らないと納得出来ました。

円周率の計算自体100億の桁に達しようと1兆桁になろうとコンピュータの
性能をPRする手段に過ぎないのかなと思います。

宇宙の話から原子の話まで、出て来ましたが、数字はそれらを超越したものだと
再認識出来て面白いと感じています。

実社会で必要な円周率を考え直すと必要な桁はせいぜい5桁も有ればこと足りる
でしょうし、精密さを要求される場面でも、20桁位でしょうか?理論的に
求めたとものでも、今の数値はそれを遙かに越えていますから、実用に全く
支障がないと思います。

今は、興味本位で、円周率をコンピュータで計算する時のプログラム・ソースを
見て見たいなと思っています。これは、改めて質問することにします。

多くの回答を頂きありがとうございました。

お礼日時:2001/09/09 00:03

たとえば、半径1mの円周は、6.28・・・・・・mになりますから、「割る」もとの円周自体が無理数になって、「余りゼロ」になり場所がなくなりますね。



そもそも、最初に円周率を計算した方法は、円に「外接する多角形」と「内接する多角形」を描いて、それぞれ外周を計算し、「円周の長さは、その両者のあいだにある」という方法です。

「実在する」円で考えたら、ranxさんのいわれるように、精度のほうが問題になるでしょうし、そもそも、そのぐらいまでいくと、「原子」より小さくなって、「円」そのものが存在しなくなります。
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この回答へのお礼

>>そもそも、最初に円周率を計算した方法は、円に「外接する多角形」と
>>「内接する多角形」を描いて、それぞれ外周を計算し、「円周の長さは、
>>その両者のあいだにある」という方法です。
数学の考えはそれで良いのだと思います。ここで疑問なのは、「その両者の
間にある」点です。単純に差の半分ではないと思いますが・・・!!

実測と言うレベルで考えれば実測出来ない領域で計算していると言う解釈で
良いのでしょうか?

お礼日時:2001/09/08 23:36

例えば、宇宙の大きさとされている半径150億光年の円を描き、


その円周をミクロン単位で実測したとします。その場合の桁数は
せいぜい三十数桁にしかなりません。他方、計算で求めた円周率は
何億桁というところまで(最新のものが何桁なのか知りませんが)
達してしまっています。全然比較の対象にならないと思います。

最新技術で「計測」し直したら割り切れてしまうということは
ありうると思います。その場合は、計算した円周率が間違って
いるのではなく、「計測」の精度が悪い、もしくは「計測」
した円が真円でなく、すこしいびつなのです。
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この回答へのお礼

みなさんに回答して頂いて、コンピュータで計算している円周は計算値で
あること判りました。(質問した時は円周率の計算手法も知りませんでしたから)
何れにしても理論値で計算している訳でですよね!
直径300億光年の円周をミクロン単位で計測して30数桁?そんな・・・

1光年が9.45×10^13kmで300億光年は、2.835×10^16km
kmをミクロンに直すと1×10^9μだから2.835×10^25μ
なるほど25桁と言う訳ですか!

ならば、現実的なところで直径10kmの円周をミクロン単位で計測すると
10桁の精度になる訳ですね!当然これよりも高い精度の円周で計算している
のですよね?

お礼日時:2001/09/08 23:16

割り切れるという言い方がわかりませんが、どこかの桁以降で0が無限に続くようになるということでしょうか?



実測で求めようとした場合、たとえば有効数字が10桁の計測器があったとして、その計測器で測ると10桁の数字が出ます。
5桁目以降、10桁まで0だったとします。
これは本当にあなたの言う割り切れる数字だと言えるでしょうか?
11桁以降に0が続くかどうかはわかりません。100桁目が1になるかもしれません。
計算上の証明ではなく実測値だけで証明させるということになると、無限の桁数を測れる計測器が必要です。
よって、実測で証明するのは不可能です。
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この回答へのお礼

先入観の話はエッ・・・そう言うつもりはないんですけど!素朴な疑問なんです。
割り切れると言うことは、余りが0になることを言うのではありませんか?
0が無限に続くと言う言い方もあるのかな?余りが0になれば割る必要ないですよねぇ~
円周率の計算は歴史が古いものです。でも、近年は実測しているのか?と言う
ことを質問した訳です。直線ならともかく円周を実測する技術は以前より格段に
精度を上げていると思います。確かにどの位の精度が得られるかによって得られる
結果が違うことも容易に判ります。
でも、具体的に桁を言えと言うのであれば、1億桁の精度でしょうか。

お礼日時:2001/09/07 07:19

円周率は割り切れないと言う潜入感・・・ってあれですか?よく会社の社長とかえらい人のいう「不可能だと思うのがいけない。

常識にとらわれていけない。やってやれないことはない!」と一緒にしちゃってません?

円周率πが割り切れないっていうのは数学的に厳密に証明されているので、
いつかは交わる平行線ってのを探すのと同じです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
会社で揉まれているのでしょうか?私は素朴な疑問から質問しているだけです。

お礼日時:2001/09/09 00:09

円周率πは不思議な数字です。


πは直径と円周の比です。

紀元前はπを22/7と考えられていたときがありました。

また、ヨーロッパでは355/113がπの近似値で112桁の
循環小数です。


直径1の円に外接する正三角形をかいて三辺と直径の長さを比べてみるのと
正6角形、正12角形、正24角形どんどん増やしていくと円周に近似していきます。(無限的に増やせば増やすほど近くなります)

それをコンピューターに計算させているのです。
(高等な計算手法もありますが)

だいぶ古い本ですが講談社の”円周率πの不思議”に面白いことが書いてありますので興味がありましたら探してみてください。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
今の計算は数学の論理の上に立った計算をしていると言うことでしょうか?
割り切れない数値だから、どんな精度の計測をしても無駄と言うことなのかな
と考えてします。
ご推薦の本は探して見ますね。
でも、何かすっきりしませんね!コンピュータはプログラムさえ書けば、ばか
ばかしい計算でも文句言わずにやりますがネ!

お礼日時:2001/09/07 00:09

割り切れないというのは、表現がちょっと正確ではないですね。


円周率は、円周率で割り切れますから。
正確には、分母と分子が整数の式では表現できない数で、
小数点付きの数で書こうとしても,繰り返しがなく、
いくら数字をならべても書けない数字ということになります。(無理数といいます)


数学としては、円周率が無理数であることは証明されています。

実際に物の計測といった用途だと,有効数字は10桁にもならないでしょう。

実際に円周率を計算するときは,必要な桁数まで計算しますから、
桁数が足らないと言うことはないです。

計算方はいろいろあると思いますが,
例えば,こんな計算をすると円周率は計算できます。

π/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 ....

これを必要な桁数になるまで繰り返します。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
質問がへたで申し訳ありません。
私の質問は、円周と直径を最新技術で実測した数値で
計算するとどうなるかなと言う素朴な疑問です。

お礼日時:2001/09/07 00:01

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数学者、というか、古代では、そういう分業制がなかったので、自然哲学者(今でいう、数学やら物理やら生物やら何でもかんでも考える人、ニュートンなどは、完全にそっちの方の人でした)が、

図形や数の研究をして、そういうものを最初に発見した、などというものではなく、

元々、大工さん・石工さんなどが、仕事で必要なので、円周率なら、円周と直径の比は、円の大きさに関係なく同じで、大体、3ちょっとくらいだ、なんてことは、誰かが最初に発見したのか、段々解るようになってきたのか、自然哲学者が活躍する時代には、もうとっくに知られていたことでした。

そういう時代には、そういうことを見つけた、大工・石工は、自分の跡継ぎ以外には、弟子にも教えない(みんなが知っちゃうと、自分や自分の身内の仕事が減るから)、なんてことは普通だったので、いきなり、たくさんの人が、知っていることになったりしませんでしたが、段々には拡がって行って、その流れで、自然哲学者も、そういう数の性質やできるだけ正確な値を求めるような研究を始めていった、というのが、歴史の流れかと思います。

調べる中で、見つけたことかもしれませんが、幾何学は、英語で、geometry、geoが大地/地球、metryはmeter(計測器のメーター、長さの単位メートル)は、測るなので、測地・測量のこと、

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>円周率は誰が一番最初に何の目的があって求めようとしたのか?
>つまり円周率の起源がわかりません。
>僕は円周率の起源は解明されてないのではと考えています。
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その表現はふさわしくないと考えます。ただ、自分でも、例えば、「半円の弧に対する円周角」などと考えてはみますが、自信なしです。「直径に対する円周角」でよいのでしょうか、どなたかお教えください。

Aベストアンサー

教科書などに載っていた円周角の定義が、なぜ「弦」に対しての角でなくて、「弧」に対しての角か、という点について、思ったことを書きます。

1つの「弦」に対しては、2つの「弧」が対応しています。つまり、円周がその1つの「弦」によって、2つの円弧に分割されているわけです。大きい方(弧の長さの長い方)を「優弧」、小さい方(弧の長さの短い方)を「劣弧」というようですが、優弧に対する円周角は、いつでも鈍角となり、劣弧に対する円周角は、鋭角になります。この2種類の円周角は、その「弦」が直径でない限り、一致はしません。

ですから一般的には、1つの「弦」に対しては、その「両側」に2種類の円周角(鋭角と鈍角のもの)があるので、「弦」だけの指定では、どちらの円周角を指しているのかを、特定することが出来ません。また、1つの「弦」に対して、「円周角は、すべて互いに等しい。」という定理を主張しようとしたら、「円周角は、それぞれの側(優弧側と劣弧側)で互いに等しい。」というように、表現を直さないといけないのではないでしょうか。

つまり、円周角はやはり、元々は「弧」に対しての角と捉える方がいいのではないでしょうか? ただ、その「弧」がたまたま「半円周」のときは、「優弧」も「劣弧」も共に「半円周」となって一致し、もちろんどちらの側の円周角も「直角」となって一致しますから、今問題になっている「直径に対する円周角」という表現の場合は、半円周という「弧」でも、直径という「弦」でも問題ない、ということなのではないでしょうか。

教科書などに載っていた円周角の定義が、なぜ「弦」に対しての角でなくて、「弧」に対しての角か、という点について、思ったことを書きます。

1つの「弦」に対しては、2つの「弧」が対応しています。つまり、円周がその1つの「弦」によって、2つの円弧に分割されているわけです。大きい方(弧の長さの長い方)を「優弧」、小さい方(弧の長さの短い方)を「劣弧」というようですが、優弧に対する円周角は、いつでも鈍角となり、劣弧に対する円周角は、鋭角になります。この2種類の円周角は、その「弦」が...続きを読む


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