「教えて!ピックアップ」リリース!

画像の問題について質問です。問題式を楕円の式に変形して、積分範囲を0<=x<=a √(z^2-1) , 0<=y<=b√(z^2-1) , 1<=z<=c として3重積分したのですが、答えが合いませんでした。どこが間違っているのでしょうか。
ご教示宜しくお願いいたします。

「画像の問題について質問です。問題式を楕円」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • こちらの式で求めたのですが、どこが間違っているでしょうか

    「画像の問題について質問です。問題式を楕円」の補足画像1
      補足日時:2022/08/29 14:39

A 回答 (3件)

答えにπが無い。

ただ左辺は (全く)間違っている。

楕円は
 x²/{a√(z²-1)}²+y²/{b√(z²-1)}²=1
だから、xを固定した時のyは
 y=±b√(z²-1)√{1-x²/{a√(z²-1)}²}=±(b/a)√{a²(z²-1)-x²}
だから、yの積分範囲は
 y=-(b/a)√{a²(z²-1)-x²}~(b/a)√a²{(z²-1)-x²}

xの積分範囲は、
 x=-a√(z²-1)~a√(z²-1)
となる。

したがって、遇関数を考えて
 4∫[z=1,c] ∫[x=0,a√(z²-1)] ∫[y=0,(b/a)√{a²(z²-1)-x²}] dydxdz
となる。

まず、yの積分は
 ∫[y=0,(b/a)√{a²(z²-1)-x²}] dy=(b/a)√{a²(z²-1)-x²}

xの積分は
 ∫[x=0,a√(z²-1)] (b/a)√{a²(z²-1)-x²}dx

u=x/{a√(z²-1)} と変換すると

 =(b/a){a²(z²-1)}∫[x=0,1] √(1-u²) du

u=sinθ と変換して

 =(b/a){a²(z²-1)}∫[0,π/2] cos²θdθ
 =(b/a){a²(z²-1)}π/4
 =(πab/4)(z²-1)

zで積分して(4倍を忘れずに)
 4(πab/4)∫[z=1,c] (z²-1) dz
となり、後は簡単。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

あなたに会えてよかった

非常に分かりやすい解説ありがとうございました。とても助かりました。

お礼日時:2022/08/29 22:10

あなたの式が書いて無いので何とも言えない。



それよりも簡単に、zでの楕円は
 x²/{a√(z²-1)}²+y²/{b√(z²-1)}²=1
この楕円の面積は
 πab(z²-1)
とわかっている。

したがって、この楕円について、dzの厚みの体積を z=1~c
まで積分すればよいから
 ∫[1→c] πab(z²-1)dz=πab{[(z³/3-z][c,1])
 =πab{(c³/3-c)-(1/3-1)}
 =πab(c³/3-c+2/3)
    • good
    • 2
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。確かに楕円の面積を積分すれば答えがでますね…

お礼日時:2022/08/29 14:39

今は、便利なアプリがあります。

使いましょう。
https://www.kitamura.jp/smahoto/use/enjoy/items/ …
    • good
    • 1

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A