サーケーリ・ルジャンドルの第2定理

サーケーリ・ルジャンドルの第2定理は
『内角の和が180度の3角形が1個でも有れば、全ての3角形は内角の和は180度になる。
同様に、内角の和が180度より小さい3角形が1個でも有れば、全ての3角形の内角の和は180度より小さい。』
と言うものです。

前半部分は、色々な解説が有って納得ですが、後半部分の解説は探しても見付かりません。
また、前半に習ってやって見ても上手く行きません。

後半はどの様に証明するのでしょうか。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/30 22:43

その定理は知らないんだけど

「内角の和が 180度より小さい三角形があれば『内角の和が 180度を越える三角形』は存在しない」
といえているのかなぁ. これがいえていないなら, この質問文を読む限りにおいて「内角の和が 180度を越える三角形」の存在を否定できないんだけど....

この回答へのお礼

サーケーリ・ルジャンドルの第1定理で『内角の和は180度を越えない』って証明されてるので、大丈夫です。

お礼日時：2022/08/31 20:22

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/02 10:11

ユークリッド幾何学では

平行線の公理から
3角形の内角の和は180°である
事がいえるけれども

平行線の公理を除いた
非ユークリッド幾何学では
いえません
例
球面上の2点を通る最短距離の曲線を
球面上の直線という事にする
球面上の同一直線上にない3点A,B,Cをとり
AとB,BとC,CとAを直線で結ぶ
3直線で囲まれた図形を球面上の3角形ABCという
ABのAでの接線と
ACのAでの接線の
角度を内角∠A=∠BACの角度とする
BAのBでの接線と
BCのBでの接線の
角度を内角∠B=∠ABCの角度とする
CAのCでの接線と
CBのCでの接線の
角度を内角∠C=∠ACBの角度とする

球面を
S={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1}
とする
A=(1,0,0)
B=(0,1,0)
C=(0,0,1)
とすると
ABはx^2+y^2=1,z=0,0≦x≦1,0≦y≦1
BCはy^2+z^2=1,x=0,0≦y≦1,0≦z≦1
CAはz^2+x^2=1,y=0,0≦z≦1,0≦x≦1
∠A=90°
∠B=90°
∠C=90°
内角の和は
∠A+∠B+∠C=270°>180°

内角の和は180度を越える

この回答へのお礼

いえ、そういう事では無いです。
サッケーリ・ルジャンドルの第1定理・第2定理は、ユークリッド幾何で、第5公準(平行線の公準)が無かったら、どうなるかと言う前提です。
他の定義・公理・公準はそのままで、と言う事です。

なので、ガウス型の非ユークリッド幾何の話であって、球面幾何とかリーマン型幾何では前提が違います。

お礼日時：2022/09/02 20:00

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/02 21:18

第5公準(平行線公準)

と
(直角仮定)
三角形の内角の和は180°である
は
同値です
------------
ユークリッド幾何で、
他の定義・公理・公準はそのままで、
第5公準(平行線の公準)の代わりに
(鋭角仮定)
三角形の内角の和は180°より小さい
を仮定したのが

双曲幾何学(ガウス型)
です
-----------
ユークリッド幾何で、
他の定義・公理・公準はそのままで、
第5公準(平行線の公準)の代わりに
(鈍角仮定)
三角形の内角の和は180°より大きい
を仮定したのが

楕円幾何学(リーマン型)
(特に球面幾何学は楕円幾何学の代表的なモデルである)
です

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/04 05:33

#5です間違えました#5の回答を取り消します

楕円幾何学(リーマン型)(球面幾何学を含む)
は
他の定義・公理・公準はそのままではなく、
第2公準「有限の直線を連続的にまっすぐ延長すること」と
第5公準(平行線の公準)を除いて
その代わりに
「ある直線 L とその直線の外にある点 p が与えられたとき、
p を通り L に平行な直線は存在しない」
を
仮定したものでした

この回答へのお礼

BAを選ばずに終ります。
楕円幾何では△の内角の和は180を超え、双曲線幾何では180°以下(未満が多い)ですね。

お礼日時：2022/09/11 13:19