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証明できますか?

「スタインメッツ交流理論」の質問画像

A 回答 (5件)

難しくしないで、普通に説明されている方法でよいような気がします


が、一応、理屈ぽくしました。

回路網の1辺 (?)を考えると、その電圧は
 Ri+Li'+q/C+e
となる。複数個の素子があっても、まとめると上式でも一般性は失わ
ない。この時、閉回路を取り、その各辺をkとして電圧則により
 Σ(Rkik+Lkik'+qk/Ck+ek)=0
となる。微分して
 Σ(Rkik'+Lkik''+ik/Ck+ek')=0 (qk'=ik)
となる。

つぎに、電源を正弦波に限り、
 ek=Ekexp(jwt) , ik=Ikexp(jwt) (Ek, Ik は複素数)
となるような特殊解を求める。すると
 Σ(jwRkIk-w²LkIk+Ik/Ck+jwEk)exp(jwt)=0
→ Σ(RkIk+(jwLk)Ik+Ik/(jwCk)+Ek)=0
となる。

つまり、L,Cを jwL, 1/jwC の抵抗(インピーダンス)として、直流の
回路式と同等な関係が成り立つ。

電流則からも同様な式が成り立ち、これらの連立一次式は解けること
が分かっている(らしい)。つまり、この特殊解が存在する。

という交流理論の論理が成り立つ (スタインメッツは知らないので)。

一般の電圧測はどこにも証明されていないが面倒なので略。

さらに、この特殊解が、期待されている定常解なのかは不明だが、頭
の良い人にかかればなんとかなるような気がする。
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この回答へのお礼

■素子の電圧と電流の関係

正弦波、定常状態での素子の両端電圧eと電流iの関係を考える。この場合、すべての電圧、電流波形は正弦波とする。
抵抗Rなら、
e=R*i

インダクタLなら、

e=Ldi/dt

コンデンサCなら、

e=∫(i/C)dt


ここで、オイラーの公式を使い、、

e=Re(E*e^(jωt))

i=Re(I*e^(jωt))

と表す。E,Iは複素数で振幅と位相差を表していて、フ

ェイザと呼ばれる。ここで、複素数の掛け算においては、

大きさは大きさの積で、偏角は和になるとする。

すると、


抵抗Rなら、

Re(E*e^(jωt))=R*Re(I*e^(jωt))

インダクタLなら、

Re(E*e^(jωt))=Ld(Re(I*e^(jωt)))/dt

=L(Re(jωI*e^(jωt)))

コンデンサCなら、

Re(E*e^(jωt))=∫((Re(I*e^(jωt)))/C)dt

=Re(I*e^(jωt)/(jω))/C)

ここで、微分とReが交換できる、ということを利用する。

【証明】

dRe(a+jb)/dt=db/dt

Re(d(a+jb)/dt)=db/dt



すなわち

Re(E*e^(jωt))ーR*Re(I*e^(jωt))=0

Re(E*e^(jωt))ーL(Re(jωI*e^(jωt)))=0


Re(E*e^(jωt))ーRe(I*e^(jωt)/(jω))/C)=0



さらにこれは、

Re((EーR*I)*e^(jωt))=0

Re((EーL*jωI)*e^(jωt))=0
Re((Eー(I/(jωC)))*e^(jωt))=0



これらが任意にのtで成り立つためには、

EーR*I=0

EーL*jωI=0


EーI/(jωC)=0

でなければならない。つまり、
Rの場合、

E=I*R

Lの場合

E=jωL*I

Cの場合

E=I/(jωC)

というフェイザ間の関係が出てくる。

お礼日時:2022/09/01 14:38

#2について



よくわからないが、いいんじゃないですか。
ただ、個別に電源と接続したときの関係が、回路網で成り立つか
は不明。
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この回答へのお礼

あざっす!

お礼日時:2022/09/01 18:03

#3について



電流の方向を決めると抵抗・インピーダンスは流れ込む入口を
+にし、電源は流れ出す方+に設定します。
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この回答へのお礼

これが肝心!!!

お礼日時:2022/09/01 18:02

訂正


電源の電圧は -e でした。
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この回答へのお礼

なんで???

お礼日時:2022/09/01 14:41

もはや、信仰の域に達しているのだな。


イワシの赤身も信心から、とか・・・。
知らんけど・・・。
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この回答へのお礼

あざっす!

お礼日時:2022/09/01 14:19

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