「教えて!ピックアップ」リリース!

テイラー展開版は以下であっているでしょうか?
間違いがある場合は、どこが間違っているか教えて下さい。
どうか確認をお願い致します。

ちなみに、
「f^(n)(z)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
↓z=0とすると」
に関して、なぜz=0としたのでしょうか?



<テイラー展開>
f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-a)^n(ローラン展開の式)より、テイラー展開はnが0と正の範囲でしか展開できないため、
n=0~∞として
f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^nとしてから、
テイラー展開は

↓両辺をn回数微分すると

{(d/dz)^n}f(z-a)=f^(n)(z-a)

f^(n)(z-a)= Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^n...⑤

f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^n
f(z)=a(0)+a(1)+a(2)z^2+a(3)z^3+a(4)z^4+a(5)z^5+a(6)z^6+a(7)z^7+a(8)z^8+a(9)z^9+…
↓両辺を微分すると(1回目)
f'(z)=a(1)+2a(2)z+3a(3)z^2+4a(4)z^3+5a(5)z^4+6a(6)z^5+7a(7)z^6+8a(8)z^7+9a(9)z^8+…
↓両辺を微分すると(2回目)
f"(z)=2a(2)+3!a(3)z+4*3a(4)z^2+5*4a(5)z^3+6*5a(6)z^4+7*6a(7)z^5+8*7a(8)z^6+9*8a(9)z^7+10

↓両辺を微分すると(n回目)
f^(n)(z-a)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…(※上に書いた⑤の左辺と一致する。)
↓z=0とすると
f^(n)(a)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(a)=a(n)

a(n)=(1/n!)f^(n)(a)

=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
f^(n)(0z)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(z)=a(n)

a(n)=(1/n!)f^(n)(z)
です

f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)z^n
から
a(n)=(1/n!)f^(n)(a)
を導きこれを
f(x)=Σ_{n=0~∞}a(n)x^n
に代入すると
画像の式になる。


この式a(n)=(1/n!)f^(n)(a)を
f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^nに代入して展開すると
f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+f''(a)/2!(z-a)^2
+ f'''(a)/3!(z-a)^3 +...となる。

「テイラー展開版は以下であっているでしょう」の質問画像

A 回答 (1件)

    • good
    • 15
この回答へのお礼

暇なんですね...

お礼日時:2022/09/02 12:10

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング