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5/{2√2+√3+√5}の分母を有理化せよと言う問題がございまして、答えが
{3√5+5√3-2√30}/6 となっているのですが、どのように計算すると
{3√5+5√3-2√30}/6と答えが出るのかわかりません。
途中式付きで教えてください。

A 回答 (4件)

5/{2√2+√3+√5}


=5(2√2+√3-√5)/{(2√2+√3+√5)(2√2+√3-√5)}
=5(2√2+√3-√5)/{(2√2+√3)^2-5}
=5(2√2+√3-√5)/(8+4√6+3-5)
=5(2√2+√3-√5)/(6+4√6)
=5(2√2+√3-√5)(-3+2√6)/{2(3+2√6)(-3+2√6)}
=5(2√2+√3-√5)(-3+2√6)/{2(24-9)}
=5(2√2+√3-√5)(-3+2√6)/{2(15)}
=(2√2+√3-√5)(-3+2√6)/6
=(8√3-6√2-3√3+6√2+3√5-2√30)/6
=(3√5+5√3-2√30)/6
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この回答へのお礼

助かりました

大変勉強になりました。

お礼日時:2022/09/10 09:28

どんな分母の有理化もビビらず直行で処理する


という意味では、No.1 の技法を知っておくといいです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0 …
↑これのページ内を「共役」で検索.

有理数体上 2√2+√3+√5 と共役な実数は
±2√2±√3±√5 から 2√2+√3+√5 自身を除いた 2^3-1 = 7 個。
これらを分子分母に掛けると
5/{2√2+√3+√5}
= 5(2√2+√3-√5)(2√2-√3+√5)(2√2-√3-√5)(-2√2+√3+√5)(-2√2+√3-√5)(-2√2-√3+√5)(-2√2-√3-√5)
 / {(2√2+√3+√5)(2√2+√3-√5)(2√2-√3+√5)(2√2-√3-√5)(-2√2+√3+√5)(-2√2+√3-√5)(-2√2-√3+√5)(-2√2-√3-√5)}  ←[0]
= 5(600√3 + 360√5 - 240√30) / 3600
= (5√3 + 3√5 - 2√30) /6.
途中の数値計算は多少煩瑣だが、理論的にはこれが一番簡明かと。

具体的な計算の手間をちまちま最適化するなら、
7 個いっぺんに掛けずに、まず 1 個分子分母に掛けて
5/{2√2+√3+√5}
= 5(2√2+√3-√5) / {(2√2+√3+√5)(2√2+√3-√5)}
= 5(2√2+√3-√5) / {2(3 + 2√6)}.
ここで分母の共役数を考えて、
5(2√2+√3-√5) / {2(3 + 2√6)}           ←[1]
= 5(2√2+√3-√5)(3 - 2√6) / {2(3 + 2√6)(3 - 2√6)} ←[2]
= 5(- 5√3 - 3√5 + 2√30) / {-30}
= (5√3 + 3√5 - 2√30) /6.

[0] の途中式と [1] から [2] への変形を見比べて、
[1] の式を見て [2] の式を思いつくことの強力さを感じてくれてもいいし、
その adHoc さに嫌気がさして [0] の美しさを噛みしめてくれてもいい。
それらは表裏一体のものだから。
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この回答へのお礼

助かりました

大変助かります。

お礼日時:2022/09/10 09:30

和と差の積の応用。


(a+b)(a-b)=a²-b² が和と差の積。
これを使えば(√2+√3)(√2-√3)=2-3=-1、と暗算で出来ます。

分母を有理化すると言うのは、分母から√を無くすと言う事です。
分数の分母分子に同じ数を掛けても良い、と言う性質を使います。

3/√3は、分母分子に√3を掛け算すると、3√3 / (√3×√3) = 3√3 / 3 =√3

1/(√2+√3)は、和と差の積の応用で分母分子に(√2-√3)を掛ける。

1/(√2+√3) = (√2-√3) / (√2+√3)(√2-√3) =(√2-√3) / (2-3)=
(√2-√3) / -1 =√3 - √2

------------------------------------------
5/{2√2+√3+√5}は和と差の積を2回使います。

1回目
{(2√2+√3)+√5}の様に2ブロックに分けて{(2√2+√3)-√5}を分母分子に掛ける。
分母を計算すると2(2√6+3)になるので、

1回目
2√6-3を分母分子に掛ける。
分母は2(2√6+3)(2√6-3)=2×15=30

後は、分母分子を約分します。

No.2の回答は、これを繋げて行なってます。
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この回答へのお礼

助かりました

非常に勉強になりました。
感謝致します。

お礼日時:2022/09/10 09:29

単純に, 分母で「加算と減算の全ての組合せ」が出てくるように倍分すればいい. 今の例だと分母が 2√2 + √3 + √5 なので


±2√2 ± √3 ± √5
のうち不足するものを (分子と分母に) 掛ければいい.

もっとも, もとが全て正なので 3個の複号のうち 1つは正に固定しても結果的には同じになる.
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この回答へのお礼

ご回答、とても勉強になりました。

お礼日時:2022/09/10 09:28

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