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この問題の解説ではいきなりmが正か負かを場合分けして解いているのですが、最初に2次方程式 mx^2-2x+1-m=0が異なるに2実数解をもつための条件である判別式Dが0よりも大きいということを計算する必要があるのではないかと疑問に思ったのですがなぜ必要ないのでしょうか?

「この問題の解説ではいきなりmが正か負かを」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • この1つ前の問題の解き方で逆にpが正か負かの場合分けをしずに最初に判別式が出てきたので余計疑問に思いました。

    「この問題の解説ではいきなりmが正か負かを」の補足画像1
      補足日時:2022/09/11 19:26

A 回答 (5件)

これはグラフを使って解いてる。


グラフが上に凸なのか、下に凸なのかで違ってくるからx²の係数の符号で決めている訳。

24番はD>0の条件を使うとP>0が求まり下に凸だと解る訳。

25番はD>0の条件を使っても、mは正の場合もあるし、負の場合もある。
だから場合分けをしてる。
実際にDの式を作ってみれば、mの正負は確定出来ない事が解る。
テキストでは、この部分を省略してるから、不親切だとは思う。
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mx^2-2x+1-m=0(m≠0)…(ア)


f(x)=mx^2-2x+1-m

f(1)=m-2+1-m=-1
f(-1)=m+2+1-m=3
だから

f(-1)=3>0>-1=f(1)
だから
中間値の定理から
f(x)=0
となるような
実数解
x
が-1<x<1に存在するから
判別式は必要ありません
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写真では、回答例の本体を引用してないね?


おそらく、α<0<β であるための条件として
lim[x→-∞]f(x) と f(0) が異符号であること
f(0) と lim[x→+∞]f(x) が異符号であること
を使っているはず。この条件を満たせば、
(-∞,0) と (0,+∞) の範囲に実数解が存在する
ことが従うから、事前に判別式を見ておく必要がない。
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24 は 判別式で p>0 が分かるが、


25 では 判別式だけでは m の 正負が分からないので、
場合分けしなければならない。
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>異なるに2実数解をもつための条件である判別式Dが0よりも大きいということを計算する必要があるのではないかと疑問に思ったのですがなぜ必要ないのでしょうか?



実際に自分でやってみましたか?

D/4 = (-1)^2 - m(1 - m)
  = 1 - m + m^2
  = (m - 1/2)^2 + 3/4

なので、すべての m に対して D/4 > 0 ですよ。

その上で、次に何をするのかを解説しているのでは?
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