a、bが定数のとき
E(aX+b)=aE(X)+b,E(X+Y)=E(X)+E(Y)
が成り立つことを証明せよ。
全然わからないのですが、どう考えればよいでしょうか?

A 回答 (2件)

E(X+Y) = E(X) + E(Y)


を証明するときには, X と Y の同時確率密度 (分布) を使わないとだめです.
つまり, 左辺は
Σ_i Σ_j (x_i + y_j) Pr(X = x_i & Y = y_i)
としなきゃならないことに注意しましょう. これを
Σ_i Σ_j (x_i + y_j) Pr(X = x_i) Pr(Y = y_i)
としたらアウト.

まぁ, 和のときには (最終的に) 同じなんですけどね.

この回答への補足

確率分布ですか?
数III・Cですか?習ってないですね、
詳しいことはわからないですね・・・・
Σってなんですか?

補足日時:2005/04/06 21:30
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証明の方針として,


まず,一次式の平均の場合,
Y=aX+bとして,(Yは確率変数)
Y=ax+bとX=xについて,それぞれの成立する確率を見ます.(これはa=0でないとき,同値条件ですから等しくなります)
あとは,期待値の定義にそってE(Y)を順々に計算していくと,主張が導かれます.

次に,和の場合,
期待値の定義を使って,計算すればでます.
考えにくい場合は,一旦,確率変数Xのとる値xiとYのとる値yjについて,i,jを動かしたときにxi+yjが常に異なる場合について考察してみると良いでしょう.

ちなみに,期待値の定義とは,

確率変数Xのとりうる値をxi(i=1,…,n)としたとき,
E(X)=Σ[i=1,n](P(X=xi)xi)

で定められる値を言います.
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