R上の実数値連続関数fが周期pを持つならば次式か成り立つことを示せ。 ∫[x→x+p] f(t)dt

R上の実数値連続関数fが周期pを持つならば次式か成り立つことを示せ。

∫[x→x+p] f(t)dt=∫[0→p] f(t)dt (x∈R）

という問題が分かりません。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/13 11:05

R上の実数値連続関数fが周期pを持つとする

x∈R
n≦x/p<n+1
となる整数nがある
np≦x<(n+1)p
だから
r=x-np
とすると
0≦r<p
x=np+r

∫[x→x+p] f(t)dt
=∫[r+np→r+(n+1)p] f(t)dt
=∫[r→r+p] f(t)dt
=∫[r→p] f(t)dt+∫[p→r+p] f(t)dt
=∫[r→p] f(t)dt+∫[0→r] f(t)dt
=∫[0→r] f(t)dt+∫[r→p] f(t)dt
=∫[0→p] f(t)dt

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2022/09/13 11:17

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/13 10:58

∫[0→p]f(t)dt - ∫[0→x]f(t)dt = ∫[x→p]f(t)dt

∫[x→p]f(t)dt + ∫[p→x+p]f(t)dt = ∫[x→x+p]f(t)dt

周期関数だから f(t+p) = f(t) であることから
∫[0→x]f(t)dt = ∫[p→x+p]f(t)dt

よって
∫[x→x+p]f(t)dt = ∫[0→p]f(t)dt - ∫[0→x]f(t)dt + ∫[p→x+p]f(t)dt -
= ∫[0→p]f(t)dt

この回答へのお礼

助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/09/13 11:17