連立微分方程式 dx/dt = |y| , dy/dt = x (-∞<t<∞) について、 (1)

連立微分方程式
dx/dt = |y| , dy/dt = x (-∞<t<∞)
について、

(1)t=0でx=0,y=1となる解を求め、(x,y) が描く曲線を図示せよ。

この問題で、yを場合分けして、
x"=x , x"=-x
として解くと、
x=C1e^t+C2e^-t, y=C1e^t-C2e^-t
の解が得られましたが、
y"=y , y"=-y
として解くと、xとyの解が逆になりました。
この場合、どちらの解が正しいですか？

質問者からの補足コメント

• x"=x , x"=-x
  を解いて得られた解は、
  y>=0のとき、x=C1e^t+C2e^-t, y=C1e^t-C2e^-t
  y<=0のとき、x=C1cost+C2sint, y=C1sint-C2cost
  です。
  y"=y , y"=-y
  として解くと、
  y>=0のとき、y=C1e^t+C2e^-t, x=C1e^t-C2e^-t
  y<=0のとき、y=C1cost+C2sint, x=C1sint-C2cost
  となりました。

    補足日時：2022/09/16 22:09

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/17 05:43

どちらも正しいです

t=0でx=0,y=1となるから
y≧0
x"=x
を解いて得られた解は
x=C1e^t+C2e^-t
y=C1e^t-C2e^-t
t=0でx=0,y=1となるから
0=C1+C2
1=C1-C2
1=2C1
1/2=C1
-1/2=C2

x=(1/2)e^t-(1/2)e^-t
y=(1/2)e^t+(1/2)e^-t
-----------------------
t=0でx=0,y=1となるから
y≧0
y"=y
として解くと
y=C1e^t+C2e^-t
x=C1e^t-C2e^-t
t=0でx=0,y=1となるから
1=C1+C2
0=C1-C2
1=2C1
1/2=C1
1/2=C2

y=(1/2)e^t+(1/2)e^-t
x=(1/2)e^t-(1/2)e^-t

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです。助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/09/17 11:09

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/17 08:05

それは、微分方程式の解ではよくある

任意定数の置き方だけの違いだよ。
y"=y , y"=-y の方の定数を
例えば B1,B2 で置き換えると、
C1, C2 と B1, B2 の間に関係式が作れて
両方の解が対応しているのが判る。

この回答へのお礼

理解しました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/09/17 11:10

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/17 03:13

与式から

　y''=|y|
ここで　y≧0 とすると
　y''=y → y=Ae^t+Be^(-t)
また x=y' から
　x=Ae^t-Be^(-t)
x(0)=0 , y(0)=1 だから
　0=A-B
　1=A+B
より
　A=B=1/2

したがって
　y=(e^t+e^(-t))/2=cosht
　x=y'=sinht
となる。ここで y>0 だから y<0 となることは無く、解は
これだけとなる。

ここで
　y²-x²=1
だから、曲線は y>0 として図のようになる。

この回答へのお礼

分かりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2022/09/17 11:10