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数字に関する質問です。
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のように右からでも左からでも
7で割り切れる数字の法則を
教えてください。

A 回答 (2件)

4桁の数xに限定で考えます。

各桁を上からA, B, C, Dとし、これを逆順に並べた4桁の数をyとすると、
  A, Bは {1,2,3,4,5,6,7,8,9}の要素
  C, Dは{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}の要素
  x(A,B,C,D) = 1000A + 100B + 10C + D
  y(A,B,C,D) = x(D,C,B,A) = 1000D + 100C + 10B + A
ということです。そしてx(A,B,C,D), x(D,C,B,A)がどちらも7の倍数であるということは
  1000A + 100B + 10C + D = 7m
  1000D + 100C + 10B + A = 7n
を満たす整数m, nがある、ということです。
 両者の和と差を作ってみると 
  1001(A + D) + 110(B + C) = 7(m + n) …(1)
  999(A - D) + 90(B - C) = 7(m - n) …(2)
だから、「連立方程式(1)(2)を満たす解A, B, C, Dであること」は、「x(A,B,C,D)もx(D,C,B,A)も7の倍数である」ということの必要十分条件です。

 まずは和(1)について。
  1001 = 143×7
  110 = 15×7 + 5
なので
  5(B + C) = 7(m + n - 43(A + D) - 15(B + C))
右辺は7の倍数ですから、これをまとめてPと書けば
  5(B + C) = 7P …(1')
だから(1)が成り立つのは、(B+C)が7の倍数であるとき、その時に限る。つまり
  B=0, C=7
  B=1, C=6
   :
  B=7, C=0
のどれかです。もちろん、A, Dはなんでも良い。

 今度は差(2)について
  999 = 142×7 + 5
  90 = 12×7 + 6
なので
  5(A - D) + 6(B - C) = 7(m - n - 142(A - D) - 12(B - C))
右辺は7の倍数ですから、これをまとめてQと書けば、(2)が成り立つ条件は
  5(A - D) + 6(B - C) = 7Q …(2')
である。

 さて、(1)の解それぞれについて、(2)も成り立つ条件を調べると
  B=0, C=7のとき 
    5(A - D) = 7(Q - 6) より、(A - D)が7の倍数であるとき、その時に限る。
  B=1, C=6のとき
    5(A - D - 6) = 7Q より、(A - D - 6)が7の倍数であるとき、その時に限る。
  B=2, C=5のとき
    5(A - D) - 4 = 7(Q + 2) より、(5(A - D) - 4)が7の倍数であるとき、その時に限る。
  B=3, C=4のとき
    5(A - D) - 6 = 7Q より、(5(A - D) - 6)が7の倍数であるとき、その時に限る。
  B=4, C=3のとき
    5(A - D) + 6 = 7Q より、(5(A - D) + 6)が7の倍数であるとき、その時に限る。
  B=5, C=2のとき
    5(A - D) + 4 = 7(Q - 2)より、(5(A - D) + 4)が7の倍数であるとき、その時に限る。
  B=6, C=1のとき
    5(A - D + 6) = 7Q より、(A - D + 6)が7の倍数であるとき、その時に限る。
  B=7, C=0のとき
    5(A - D) = 7(Q + 6) より、(A - D)が7の倍数であるとき、その時に限る。
ということ。これが(1)(2)が両方成り立つ条件です。

 たとえば、B, Cの一方が0, 他方が7である場合なら、(A - D)が7の倍数なのだから、
  A=D
である9通りのほかに
  A=9, D=2
  A=8, D=1
  A=2, D=9
  A=1, D=8
の4通りがある。なのでこの場合に限れば、コタエは 9709, 8709, 7707, 6706, 5705, 4704, 3703, 2702, 1701, 9702, 8701, 2709, 1708, およびそれを逆順にしたものであり、それだけだ、ってことです。
 B, Cのほかの組み合わせの場合についても、同じようにして調べられますね。
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数字の合計が「7の倍数」って事では?

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