写真についてなのですが、数列{a[n]+pb[n]}が等比数列となるようなpを考えるとき、 1=2+

写真についてなのですが、数列{a[n]+pb[n]}が等比数列となるようなpを考えるとき、
1=2+p…a[n+1]の係数
p=1+2p…b[n+1]の係数
の連立ではなく、なぜ、1:p=(2+p):(1+2p)という比の式で求めるのですか？また、連立だとダメな(できない)理由も教えてほしいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/17 23:55

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞k = 2 + p
＞　pk = 1 + 2p
＞の解説がよくわからないです。

{an + pbn} が「等比数列になるようにする」ということなので

c(n) = a(n) + pb(n)

として、{cn} の公比を k とすれば
　c(n+1) = kc(n)

つまり

　a(n+1) + pb(n+1) = k[a(n) + pb(n)]　　　①

です。

ここで、解説の1行目にある通り

　a(n+1) + pb(n+1) = (2 + p)a(n) + (1 + 2p)b(n)　　　②

ですから、①と②の右辺を比較すれば
　k = 2 + p
　kp = 1 + 2p
ですよね。

「連立させる」のは、②の左辺と右辺ではなく(a(n+1) と a(n)、b(n+1) と b(n) ですから、イコールにはできませんよね）、①と②の右辺どうしです。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/17 17:15

{a(n)+pb(n)}が公比rの等比数列だとすると

{a(n+1)+pb(n+1)}/{a(n)+pb(n)}=r

↓両辺に{a(n)+pb(n)}をかけると

a(n+1)+pb(n+1)=r{a(n)+pb(n)}

↓a(n+1)+pb(n+1)=(2+p)a(n)+(1+2p)b(n)だから

(2+p)a(n)+(1+2p)b(n)=r{a(n)+pb(n)}
(2+p)a(n)+(1+2p)b(n)=ra(n)+rpb(n)

↓左右のa(n),b(n)の係数が等しいから

r=2+p…(1)
pr=1+2p…(2)

(1)を(2)で割ると

1/p=(2+p)/(1+2p)

∴
1:p=(2+p):(1+2p)

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/17 16:16

an と bn は独立ではなく、{an + pbn} が「等比数列になるようにする」ということだからね。

cn = an + pbn

とおけば、{cn} の公比を k とすれば
　c(n+1) = kcn
で
　k = 2 + p
　pk = 1 + 2p
だということです。

この連立ならいいですよ。

この回答へのお礼

k = 2 + p
　pk = 1 + 2p
の解説がよくわからないです。
もう少し詳しい解説おねがいします。

お礼日時：2022/09/17 16:23

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/17 16:10

p=1の時

{a(n+1)+pb(n+1)}/{a(n)+pb(n)}
={(2+p)a(n)+(1+2p)b(n)}/{a(n)+pb(n)}
={3a(n)+3b(n)}/{a(n)+b(n)}
=3

だから
{a(n)+pb(n)}は公比3の等比数列になるのに

1=2+p
p=1+2p
の連立だと
p=-1となって
p=1
にならない